湖南省邵阳市海谊中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题

试卷更新日期：2026-01-02 类型：月考试卷

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1. 已知复数z满 $z i = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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2. 直线 $l : x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位： $cm$ ）分别是 $23, 24, 23, 25, 26, 23, 25$ .则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、24，25 B、23，23 C、23，24 D、24，24

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4. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1) ， C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ .若 $e_{2} = \sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、5

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7. 直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知 $A (1, 1, 0), B (2, 1, 2), C (4, 3, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{A B} | = 5$ B、 $\vec{A C} = (3, 2, 1)$ C、 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ D、平面ABC的一个法向量是 $(- 4, 5, 2)$

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9. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上的动点，则下列结论正确的是（）．

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、P到 $F_{1}$ 最小的距离是2 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为6 D、P到 $F_{1}$ 最大的距离是9

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10. 已知直线 $l ： k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ ，则（）

A、直线l恒过定点 $(2 ， 0)$ B、存在k使得直线l与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、直线l与圆O相交 D、若 $k = - 1$ ，直线l被圆O截得的弦长为4

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程是．

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12. 若两条直线 $l_{1} ： x + 2 y - 6 = 0$ 与 $l_{2} ： x + a y - 5 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是.

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13. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为4，点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{3 p}$ ，则抛物线的方程为．

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14. 过点 $P (2 ， 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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15. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交C于A，B两点，若 $| F_{1} A | = 13, | A B | = 10$ ，则C的离心率为．

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