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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $P$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $Q$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 2$ C、点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 满足 $|y_{0}| = \frac{1}{3}$ D、 $|P Q| = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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3、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (p, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，且 $|F M| = 3$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $N (5, - 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，求 $|A B|$ ．

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4、已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{4 x^{2} + 4} + 2 x) + x^{2025}$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 3 x - 7) + f (2 x - 3) < ln 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{2}, 2)$ D、 $(- 2, \frac{5}{2})$

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5、西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25 ° C$ 室温下，龙井用 $85 ° C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ° C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85 ° C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y ° C$ 且满足 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ .

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、经过测试可知 $a = 0.9227$ ，求在 $25 ° C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 7 \approx 0.8451, \lg 0.9227 \approx - 0.0349$ )

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6、已知 $cos (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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7、已知函数 $f (x) = |{log}_{2} x|$ .若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $3 x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是．

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8、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} cos x, x < 0 \\ x^{2}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{π}{3}))$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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10、设 $a = 3^{0.1}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.5}$ ， $c = {log}_{3} 0.5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）.

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 9}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的奇函数，满足 $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明.

(3)、若 $f (t^{2} - 1) + f (1 - 4 t) < 0,$ 求实数 $t$ 的取值范围.

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12、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{C D} = (2, 1, 2)$ ，则 $cos ⟨\vec{A B}, \vec{C D}⟩ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知互不相等的数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, t$ 的平均数为 $t$ ，方差为 $s_{1}^{2}$ ，数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小关系为（）

A、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、无法判断

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14、已知定点 $A (1, - 3)$ ，点 $B$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 上的动点， $C$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若过定点 $P (\frac{1}{2}, - 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的轨迹交于 $M, N$ 两点，且 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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15、下列说法正确的有（）

A、若角 $α$ 的终边过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则角 $α$ 的集合是 $\{α |α = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z\}$ B、若 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{2 π}{3}) = \frac{3}{5}$ C、若 $tan α = 2$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α = \frac{6}{5}$ D、若扇形的周长为 $8 cm$ ，圆心角为 $2 rad$ ，则此扇形的半径是 $4 cm$

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16、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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17、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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18、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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19、已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A B, A D, D C, B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ ；

(2)、求 $|H F|$ 的长.

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