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相关试卷

1、在斜 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \sin 2 C + c \cos A = b$ ，且 $\cos B = \frac{1}{7}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若点M为AC中点，且 $B M = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、在梯形ABCD中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}, \vec{A E} = \vec{E B}, | \vec{B C} | = 3$ ， P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足 $4 \vec{D P} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{C B} = | \vec{D A} | \cdot | \vec{D P} |$ ， Q为边AD上的一个动点．

(1)、求证： $2 \vec{D P} = \vec{P E}$ ；

(2)、 $| \vec{P Q} |$ 的最小值．

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3、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．

(1)、当 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (- 8, - 1), \vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $α$ ．

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4、已知点P为 $△ A B C$ 内一点， $P C = 2, P B = 3, A C = 4, A B = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{P A} =$ ．

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5、已知是O坐标原点， $A (1, - 3), B (4, - \frac{1}{2}), C (2 a - 1, a + 2)$ ，若点C满足 $\vec{O C} = \cos^{2} θ \cdot \vec{O A} + 2 \sin^{2} θ \cdot \vec{O B}$ ，则a的值为．

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6、已知 $A (3, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，若点 $P (x, - \frac{1}{2})$ 在线段AB的中垂线上，则 $x =$ .

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7、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}, B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形 $A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若O是 $△ A B C$ 的外心， $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C}$ ，则 $m + n \in [- 2, 1)$

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8、正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， $\overset{⃑}{A P} = λ$ $\overset{⃑}{A D} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A D}$ 最大值是2 D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A E}$ 最大值是 $\sqrt{5} + 2$

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9、已知凸四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ， $\frac{A D}{C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则 $\frac{B D}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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10、我们定义：“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”为向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的“外积”，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，它的长度规定 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin θ$ ，现已知：在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 1, |\vec{C A} + \vec{C B}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$

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12、已知 $A D, B E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C, A C$ 上的中线，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ $- \frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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13、已知 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ .

(1)、若 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $t \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数 $t$ 的值；

(2)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值；

(3)、若向量 $(2 \vec{a} - λ \vec{b})$ 与 $(λ \vec{a} - 3 \vec{b})$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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14、作用于同一点 $O$ 的三个力 $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ 处于平衡状态，已知 $| \vec{F_{1}} | = 1$ ， $| \vec{F_{2}} | = 2$ ， $\vec{F_{1}} 与 \vec{F_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{F_{3}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 夹角的大小为.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{c}{a} = \frac{1 + cos C}{2 - cos A}, c = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} ＝ 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的最小值为．

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17、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 $O, G, H$ 分别为三角形 $A B C$ 的外心､重心､垂心，且 $M$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ B、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ D、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A O} + \frac{2}{3} \vec{A H}$

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18、在 $△ A B C$ 中，下列结论中，正确的是（）

A、若 $cos 2 A = cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ C、若 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $A = 60^{°}, A C = 4$ ，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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19、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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20、已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，且向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则 $tan ∠ C M A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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