浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高一上学期1月素养检测数学试题

试卷更新日期：2026-01-14 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1. 已知集合 $U = \{x ||x| > 1\}$ ， $A = \{x| x > 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2)$

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2. 若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $\sqrt{- 2 a^{2} + 12 a - 18}$ 有意义”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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3. 已知 $\tan (- 80 °) = k$ ，则 $\tan 100 °$ 的值是（）

A、k B、 $- k$ C、 $\frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$ D、 $- \frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$

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4. 若函数 $f (x) = \log_{2 a} (6 - \frac{x}{a})$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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5. 已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}$ ， $tan α tan β = 2$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{x} + 1}$ ，则满足不等式 $f (m^{2}) + f (2 m) > 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(0, 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ ，函数 $g (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x + a$ ，若任意的 $x_{1} \in R$ ，均存在 $x_{2} \in [1, 8]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 4, + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) + 3 a (\sin x - \cos x) + (4 a - 1) x$ 在区间 $[\frac{7}{4} π, 2 π]$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{16}{9}, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{7}]$ D、 $(- \infty, 0]$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $x > 1, x + \frac{1}{x - 1}$ 最小值为3 B、 $f (t) = \frac{1}{\sqrt{t^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{1}{x}$ 表示同一个函数 C、若集合 $M$ 满足 ${1, 2} \subseteq M \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ，那么这样的集合 $M$ 有8个 D、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 过定点 $(0, 1)$

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10. 如图，点 $A, B, C$ 是函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 相邻的三个交点，且 $|B C| - |A B| = \frac{π}{3}, f (- \frac{π}{12}) = 0$ ，则（）

A、 $ω = 4$ B、 $f (\frac{9 π}{8}) = \frac{1}{2}$ C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、若将函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴平移 $θ$ 个单位，得到一个偶函数的图象，则 $|θ|$ 的最小值为 $\frac{π}{24}$

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11. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意的实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (x - 2) - f (4 - x)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数且周期为12 C、 $f (4) = - 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{25} f (2 i) = 2$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 $A (m, \frac{1}{3})$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (\ln 2) f (\ln 4) = 8$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 6 m - 8, x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2}, x < 1 \end{array}$ ，若对于任意实数a，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = |f (x)|$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上的值域.

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16. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - (m + 1) \cdot 2^{x} - 1$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的值域；

(2)、若 $m = - 1$ ，设 $g (x) = \frac{f (x)}{2^{x}}$ ，若对任意实数 $x$ ，不等式 $g (x - 1) + g (x^{2} + t) > 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 + x) - \log_{\frac{1}{3}} (2 - x)$ ， $g (x) = 2 x^{2} - m x + 3$ ．

(1)、求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性与单调性；

(3)、对 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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18. 我们知道，若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则有不等式 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ 成立（当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立）．从 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ $= \frac{- 2 a^{2} - 2 b^{2} - 2 c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} = \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{9} \leq 0$ 可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：

(1)、求代数式 $2 \sqrt{2 + t} + \sqrt{3 - 2 t}$ 的最大值；

(2)、已知 $x > 0, y > 0, z > 0$ ，若不等式 $m (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) \leq \sqrt{x + y + z}$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若a，b， $c \in (0, + \infty)$ ，证明： ${(\frac{a + b + c}{3})}^{4} \leq \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3}$ ．

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19. 如图是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的一部分．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、记方程 $f (x) = - \frac{3}{4}$ 在 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{17 π}{12}]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \in N^{*})$ ，若 $m = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}$ ，试求 $n$ 与 $m$ 的值．

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