广东省部分学校2025-2026学年高三1月综合练习数学试卷

试卷更新日期：2026-02-02 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {x ∣ x > \sqrt{2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ x > \sqrt{2}}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${2, 3, 4}$

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2. $\frac{2 + i}{3 - i}$ 的实部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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3. 某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（）

A、25 B、30 C、35 D、50

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4. ${(2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、 $\frac{21}{8}$ B、 $- \frac{21}{8}$ C、168 D、-168

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a + b = 5, c = 3$ ，且 $\cos C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + S_{3} = 2, a_{4} + a_{5} + 2 a_{6} = 6$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{4}}{a_{5} + a_{7}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 已知函数 $f (x) = x - 2 a$ 满足对任意 $x \in [3, 5], f (x + 2 a) \cdot {[f (x)]}^{2} + 16 f (x) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{25}{6}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, 5]$ C、 $[\frac{5}{2}, 5]$ D、 $[\frac{5}{2}, 4]$

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，且 $\frac{S_{△ F_{1} A B}}{S_{△ F_{2} A B}} = 3$ ．若直线 $l$ 恒过 $x$ 轴上定点 $P$ （非椭圆长轴端点），当四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积最大时，设 $△ A F_{1} P$ 的内切圆半径为 $r_{1}, △ A F_{2} P$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，则 $r_{1} - r_{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知公差 $d$ 不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} + S_{8} = 34, a_{5} + a_{6} + a_{7} = 12$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 1$ B、 $d = 1$ C、 $\{\frac{a_{n}}{n} - n\}$ 是递减数列 D、当且仅当 $n = 1$ 时， $S_{n}$ 取得最小值

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其中一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $m = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、存在直线 $l$ 交 $C$ 于A，B两点，且线段 $A B$ 的中点为 $P (3, 1)$ C、焦点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、若点 $Q$ 满足 $|Q F_{1}| - |Q F_{2}| = 4$ 且 $\frac{|Q F_{1}|}{|Q F_{2}|} > 2$ ，则点 $Q$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{\frac{4}{3}} = 1 (x \geq 2)$

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11. 已知 $a = \ln {(\frac{3}{2})}^{e}, b = \frac{5}{4 \sqrt[10]{e}}, c = \frac{9}{8}, d = 3 \log_{3} \frac{7}{5}$ ，则（）
（参考数据： $e^{\frac{1}{e}} \approx 1.445$ ）

A、 $a < d$ B、 $b > c$ C、 $c > a$ D、 $b > d$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} = (2, 3), \vec{a} + \vec{b} = (0, - 1)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ \log_{4} (x + 4), x > 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x^{3}) > f (4 x)$ 的解集是.

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14. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V, P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2, B C = 3$ ．若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $36 π$ ，则当 $V$ 取得最大值时， $\cos ∠ A B C =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 某校举办校园手工作品大赛，低年级组提交240件，高年级组提交260件．经评选，共有10件作品获奖，其中金奖2件、银奖8件．

(1)、现从所有参赛作品中随机抽取1件，求抽到获奖作品的概率；

(2)、现有1名同学从这10件获奖作品中随机选取2件欣赏，设选到的金奖作品的数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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16. 将函数 $f (x) = \cos (3 x - φ) (0 < φ \leq \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (\frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求函数 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的图象在区间 $[\frac{π}{24}, \frac{23 π}{72}]$ 内的交点横坐标．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是直角梯形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $P A = 2,$ $∠ A B C = 90 °$ ， $A B / / C D, A B = 2 C D = 2, E, F$ 分别是线段 $P D ， A C$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P E F$ 与平面 $C E F$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{105}}{21}$ ，求 $B C$ ；

(3)、在（2）的条件下，求点 $A$ 到平面 $P E F$ 的距离．

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} = 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 作 $C$ 的切线，交准线 $l$ 于点 $Q$ ，交 $x$ 轴于点 $P$ （异于点 $Q$ ），连接FQ，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ．
（i）证明： $\frac{| A Q |}{| P Q |} = \frac{| A F |}{| H F |}$ ；
（ii）当 $x_{1} \in (0, 1)$ 时，求 $△ P H F$ 面积的最大值．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2} - (2 e + 1) x (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 1$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - (e - 3) (x > 0)$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有2个零点，且2个零点之和小于 $\frac{3}{2}$ ．

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