广东省中山市桂山中学2025-2026学年高二上学期12月段考数学检测题

试卷更新日期：2025-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若直线的一个方向向量为 $(3, \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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3. 已知直线 $l_{1} ： a x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： a x + 4 y + 2 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $\vec{O A}$ 上，且满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ （）

A、相离 B、有3条公切线 C、关于直线 $x - y = 0$ 对称 D、公共弦所在直线方程为 $x + y + 1 = 0$

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6. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{36}$ B、A与C相互独立 C、A与C对立 D、B与C互斥

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7. 已知直线 $x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ O A B$ 为正三角形，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{6}$

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ ，该椭圆上一点到直线 $x - y = 0$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.005 B、估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85 C、估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80 D、估计总体中成绩落在 $[60, 70)$ 内的学生人数为150

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为8 B、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、椭圆 $C$ 上存在两个点，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|}$ 的最小值为1

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11. 已知直线 $l : (1 + 2 m) x + (m - 2) y + 6 - 3 m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法正确的有（）

A、当 $|A B|$ 最大时， $m = - 8$ B、当 $△ A B C$ 面积最大时， $|A B| = 2 \sqrt{2}$ C、直线 $l$ 过定点 $P$ ，且 $|P A| \cdot |P B| = 3$ D、若直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} = \frac{4}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知直线 $l$ 过点 $A (1, 2, 0)$ ，且直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (0, - 1, 1)$ ，则坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为.

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13. 已知点 $M (1, 2)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上，则过点M的圆C的切线方程为．

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14. 点 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ 上任意一点， $E F$ 为圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的任意一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左焦点为 $F (- 2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点且斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $M N$ 的长．

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16. 设梯形 $A B C D$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，已知 $A B // C D$ ，且 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $D (3, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、求梯形 $A B C D$ 的面积.

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17. 多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分．

(1)、考生甲有一道答案为 $A B D$ 的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率；

(2)、现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为 $\frac{1}{3}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{2}$ ；每道题考生丙得6分的概率为 $\frac{1}{4}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{2}$ ．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率．

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D B = D C = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{7}$ ， $A B = \sqrt{5},$ 平面 $A C B ⊥$ 平面 $D C B, E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ B C$ .

(2)、点 $F$ 满足 $\vec{E F} = λ \vec{D A} (0 < λ < 1)$ ，且 $C D //$ 平面 $F A B$ .
（i）求 $λ$ 的值；
（ii）求平面 $D A B$ 与平面 $F A B$ 的夹角的余弦值.

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19. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = 2 \sqrt{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $G$ 的方程；

(2)、已知直线 $x = m y + 3$ 与轨迹 $G$ 交于 $P, Q$ 两点．
①求 $m$ 的取值范围；
②已知点 $D (2, 1)$ ，直线 $D P, D Q$ 与直线 $x = 3$ 分别交于点 $M, N$ ，平面内是否存在一定点 $H$ ，使得四边形 $D M H N$ 为平行四边形？若存在，求出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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