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相关试卷

1、如图，将边长为2的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成一个直二面角，且 $E A ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A E = a$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，
（i）求证： $A B / /$ 平面 $C D E$ ；
（ii）求直线 $B C$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值；

(2)、求实数 $a$ 的值，使得二面角 $A - E C - D$ 的大小为60°.

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2、设函数 $f (x) = x^{2} + m \ln (x + 1) (m \in R)$ ．

(1)、若m＝－1，
①求曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
②当 $x \in (1, + \infty)$ 时，求证： $f (x) < x^{3}$ .

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一零点，求实数m的取值范围.

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3、如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ A = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C D = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的值；

(2)、求 $B C$ 的长度；

(3)、求 $△ B C D$ 的面积．

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4、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，且 $b_{1} = - a_{1}, b_{2} + b_{4} = - 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $C_{n} = a_{1} \cdot a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{2 n - 1}$ ，且 $C_{n} = 4096$ ，求 $n$ .

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5、在几何体 $A B C D E F G H$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为6的正方形， $△ E A B$ ， $△ F B C$ ， $△ G C D$ ， $△ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直. $P$ 是线段 $G F$ 上的动点， $\vec{F P} = λ \vec{F G}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求三棱锥 $B - E F P$ 的体积；

(2)、若平面 $A E H ⊥$ 平面 $B E P$ ，求 $λ$ 的值.

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上，满足 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，若 $A B = 3$ ，点 $M, N$ 分别为线段 $A B, B C$ 上的动点，满足 $|\vec{B M}| + |\vec{B N}| = 1$ ，则 $\vec{E M} \cdot \vec{E N}$ 的最小值为.

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7、已知 $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} f (x), x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{matrix}$ ，则方程 $g (x) = 3 x - 3$ 不同解的个数为．

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8、已知 $sin (α - \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ .

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9、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M 是AC上一点， $A M = \frac{1}{2} M C, C C_{1} ⊥$ 平面ABC，∠ABC=90°， $A B = B C = C C_{1} = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，则（）

A、 $A B_{1} / /$ 平面 $B M C_{1}$ B、平面 $B M C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ C、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7}{3}$ D、若点P在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 上运动（含边界），且CP与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10、已知 $a, b, c, d$ 均为实数，下列命题正确的有（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ 则 $a - d > b - c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ 则 $a c > b d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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11、已知关于 $x$ 的不等式 $k (x - \frac{5}{2}) e^{- x} - x + 2 \leq 0$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}}, 2 e^{3}]$ B、 $[\frac{2}{3} e, 2 e^{3}]$ C、 $[2 e^{\frac{3}{2}}, 2 e^{3}]$ D、 $[e^{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2} e^{3}]$

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12、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，则 $a_{n} =$ （　　）

A、 $2 \cdot 3^{n - 1} + 1$ B、 $3^{n - 1} - 1$ C、 $2 \cdot 3^{n - 1} - 1$ D、 $2 \cdot 3^{n} + 1$

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13、已知 $m, n$ 是空间两条不同的直线， $α, β$ 是空间两个不重合的平面，下列命题为真命题的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α // β$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ， $α // β$ ，则 $n // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $α ⊥ β$ ，则 $n // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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14、直线 $l_{1} : (a + 1) x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x - y + 3 = 0$ ，则“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”是“ $a = 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, 2)$ ，则 $tan α =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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16、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于 $x$ 轴对称，且 $z_{1} = 1 + i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| \neq 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 1, x \leq 0, \\ |ln x|, x > 0 . \end{matrix}$

(1)、若 $f (x) = 1$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (f (x) - m)$ 有5个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ （单位： $m$ ）（ $P$ 在水下则 $d$ 为负数）， $d$ 与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系是 $d = 3 sin (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ .

(1)、盛水筒 $P$ 旋转一周需要多少秒？盛水筒 $P$ 出水后至少经过多少秒就可以达到最高点；

(2)、当 $t \in (40, 50)$ 时，判断盛水筒 $P$ 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + m e^{- x}}{2}, g (x) = lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ .（e为无理数， $e = 2.71828 \dots)$

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求参数 $m$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值与最小值之和.

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