四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-10 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x$ 的值为（）

A、5 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 5$

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2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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4. 已知 $z$ 轴上一点 $M$ 到点 $A (1, 0, 2)$ 与点 $B (1, - 3, 1)$ 距离相等，则点 $M$ 的竖坐标为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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6. 已知随机事件A，B，C中， $A$ 与 $B$ 相互独立， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (C) = 0.6$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.4 B、0.58 C、0.7 D、0.72

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7. 两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A, E$ 和点 $B, F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6, B F = 8, E F = 14$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $20$ 或 $12$ B、 $12$ 或 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ 或 $8 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$ 或 $20$

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8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{m} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w} .$ 根据上述材料，解决下面问题：直线 $l$ 是两个平面 $x - 2 y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则（）是 $l$ 的一个方向向量．

A、 $(2, 1, 4)$ B、 $(1, 3, 5)$ C、 $(1, - 2, 0)$ D、 $(2, 0, - 1)$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）

9. 有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{6}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数 B、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数 C、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差不小于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差 D、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的极差不大于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差

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10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ \vec{C C_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 不可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ 、P、C的截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{4}, \sqrt{2}]$ D、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是 $9, 10, 9, 8, 9$ ，则该组数据的方差.

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13. 已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ 、第2组 $[25, 30)$ 、第3组 $[30, 35)$ 、第4组 $[35, 40)$ 、第5组 $[40, 45]$ ．

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；

(3)、若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D, P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求平面 $C P B$ 与平面 $P B D$ 的夹角的大小．

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18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件 $G$ 由2个电子元件组成．如图所示，部件 $G$ 是由元件 $A$ 与元件 $B$ 组成的串联电路，已知元件 $A$ ， $B$ 正常工作的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且元件 $A, B$ 工作是相互独立的．

(1)、求部件 $G$ 正常工作的概率；

(2)、为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件 $G$ 正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为 $p$ ，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件 $A$ 并联后，再与 $B$ 串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件 $A$ 并联，另一个和元件 $B$ 并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件 $G$ 正常工作的概率达到最大？

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $O$ 是 $A D$ 中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C D, P O = \sqrt{3}, A B = 2$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、求证： $l / / A B$ ；

(2)、如图， $M \in l$ 且 $P M = 1$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、设四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球球心为 $Q$ ，点 $M \in l$ ，求直线 $Q M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值的最大值．

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$a$	$d$	$f$
$b$	5	$g$
$c$	$e$	$h$