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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $C$ 的右顶点为 $P$ ，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ ，求 $|A B|$ .

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B E$ 的距离.

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3、已知圆 $C$ 的圆心为直线 $x + y - 2 = 0$ 与直线 $3 x - y - 6 = 0$ 的交点，且圆 $C$ 过点A $(3, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点， $M (8, 0)$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P M} = 2 \vec{Q M}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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4、已知正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的底面边长为 $2 \sqrt{3}$ ，高为2，点 $P$ 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是 $M N$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是.

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5、已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $M (3, \frac{3}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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6、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ ，并且焦距为6，则实数 $m$ 的值为.

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7、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l$ $∥$ $α$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 C、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 2, 2)$

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8、下列说法正确的是（）

A、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ B、已知两点 $A (- 3, 4)$ ， $B (3, 2)$ ，过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1]\cup[1, + \infty)$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $2$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ .过 $F_{2}$ 向一条渐近线作垂线，垂足为 $P$ .若 $|P F_{2}| = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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10、一条光线从点 $(5, 4)$ 射出，经 $x + y - 2 = 0$ 反射后与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$

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11、已知直线 $a, b, c$ 和平面 $α, β, γ$ ，则下列命题正确的是（）

A、平面 $α$ 内不一定存在和直线 $a$ 垂直的直线 B、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ C、若 $a, b$ 异面且 $a \subset α, b \subset β, a // β, b // α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则直线 $a, b, c$ 可能两两相交且不过同一点

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12、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $O B$ ， $A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是对边 $O A$ ， $B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2), \vec{b} = (2, y, 2), \vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b}$ $∥$ $\vec{c}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、2 D、8

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14、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距是3，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = \sqrt{3} x + 3$ B、 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ C、 $y = - \sqrt{3} x + 3$ D、 $y = - \sqrt{3} x - 3$

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15、已知点 $P$ 和非零实数 $λ$ ，若两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $P$ ，且斜率之积为 $λ$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $P_{λ}$ 共轭线对”，如直线 $l_{1} : y = 2 x$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x$ 是一组“ $O_{- 1}$ 共轭线对”，其中 $O$ 是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．

(1)、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $M (1, 2)$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $M_{2}$ 共轭线对”，且 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求 $l_{2}$ 的一般式方程；

(2)、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $O_{- 3}$ 共轭线对”，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角的最小值；

(3)、已知点 $Q (- 1, - \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是“ $Q_{- 2}$ 共轭线对”，当 $l_{1}$ 的斜率变化时，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离之积的取值范围．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别是线段 $A C, C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（不包括端点），求平面 $F B D$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值的取值范围．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $A B E F$ 是梯形， $B E / / A F ， B E ⊥ E F ， ∠ B A F = 30^{\circ}$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $A B E F$ 互相垂直， $B F = 2, A F = 4$ ．

(1)、求证： $B F ⊥ A C$ ．

(2)、若二面角 $C - A F - B$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求多面体 $A B C D E F$ 的体积．

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18、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、已知向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19、在菱形 $A B C D$ 中， $A = \frac{π}{3}, A B = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离最大，此时四面体 $A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

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20、有一光线从点 $A (- 3, 5)$ 射到直线 $l : 3 x - 4 y + 4 = 0$ 以后，再反射到点 $B (2, 15)$ ，则入射光线所在直线的方程为.

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