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相关试卷

1、设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 3 m + 4 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面上存在定点 $Q$ 使得 $P Q$ 的长度为定值 B、 $|P A| + |P B|$ 的最大值为 $8$ C、 $|P A| \cdot |P B|$ 的最大值为 $32$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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2、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $B D_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、直线 $B_{1} C$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、四面体 $D_{1} - A B_{1} C$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、点 $A$ 到平面 $D_{1} B_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、下列结论错误的是（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ ， $y$ 轴上的截距互为相反数的直线方程为 $x - y + 1 = 0$ B、直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 与直线 $2 x - 4 y + 1 = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ C、已知点 $A (3, 1)$ ， $B (2, 3)$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上，则 $|P A| + |P B|$ 的最小值为 $\sqrt{29}$ D、已知两点 $A (- 3, 4)$ ， $B (3, 2)$ ，过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 没有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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4、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (- 1, 0, 1)$ ，点 $A = (1, 2, - 1)$ 在 $l$ 上，则点 $P = (2, - 1, 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 边上一点，且 $E C = 2 P E$ ，若 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6、“ $a = 3$ ”是“直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $3 x + (a - 1) y - (a - 7) = 0$ 平行且不重合”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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7、若 $sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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8、已知 $a = 3^{0.4}$ ， $b = {0.4}^{3}$ ， $c = {log}_{0.4} 3$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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9、已知 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1, - 1)$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $z - \bar{z} = 2 i$ C、 $z + \bar{z} = - 2 i$ D、 $\bar{z} = z i$

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10、对于定义域为 $I$ 的函数，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，同时满足下列两个条件：
① $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调的；
②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“黄金区间”.

(1)、请证明：函数 $y = 1 - \frac{3}{x} (x > 0)$ 不存在“黄金区间”；

(2)、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ 在 $R$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；

(3)、如果 $[m, n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 2}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“黄金区间”，请求出 $n - m$ 的最大值.

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11、已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) + k x, (k \in R)$ 为偶函数

(1)、求k的值；

(2)、若函数y=f（x）的图像与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有交点，求a的取值范围；

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12、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：（1）函数是区间 $[0, 60]$ 上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：① $y = k x + b (k > 0)$ ， ② $y = k \cdot {1.2}^{x} + b (k > 0)$ ， ③ $y = k \cdot \log_{2} (\frac{x}{10} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；

(2)、求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟．（注： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，结果保留整数）．

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13、已知 $\sin α$ 、 $\cos α$ 是方程 $5 x^{2} - x - m = 0$ 的两个实数根，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{\cos α} - \frac{1}{\sin α}$ 的值.

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14、已知函数 $f (x) = \log_{3} (a x^{2} + 3 x + a + \frac{5}{4}) (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{8})$ 上单调递增，求实数a的取值范围．

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15、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\ln \sqrt{2 y + 1} + y = 2$ ， $e^{x} + x = 5$ ，则 $x + 2 y =$ .

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16、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot 3^{x} < 9^{x} - 3^{x} - 2$ 对任意 $x \geq 1$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为.

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17、弧长为 $4 π$ 的扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则此扇形的面积为．

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $g (g (- 1)) < g (g (2))$ B、 $g (f (- 1)) < g (f (2))$ C、 $f (g (1)) > f (g (2))$ D、 $f (f (1)) < f (f (2))$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 1, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，下列关于函数 $y = f [f (x)] + 1$ 的零点个数判断正确的是（）

A、当 $k < 0$ 时，有1个零点； B、当 $k > 0$ 时，有4个零点； C、无论 $k$ 取何值，均有2个零点； D、无论 $k$ 取何值，均有4个零点；

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20、已知正实数x，y满足 $x + y = 4$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $e^{x} + e^{y}$ 的最小值为 $2 e^{2}$ B、 $\lg x + \lg y$ 的最大值为 $\lg 4$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为8 D、 $x (y + 4)$ 的最大值为16

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