四川省字节精准教育联盟2026届高三下学期模拟预测数学试题

试卷更新日期：2026-06-11 类型：高考模拟

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一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题给出的选项中，只有一项是正确的.

1. 已知集合 $A = \{x \in N |- 2 < x < \frac{16}{3}\}$ ，集合 $B = {- 1, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 复数 $z = i (1 - i)$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $|a| < 3$ 且 $|b| < 3$ ”是“ $a^{2} + b^{2} < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（）

A、8 B、12 C、15 D、 $- 20$

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5. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、0

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6. 已知直线 $l : y = k x - \frac{k p}{2}$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $M (- 1, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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7. 已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，圆锥内接于球 $O$ ，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{81}$ B、 $\frac{32 π}{81}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{32 π}{27}$

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8. 已知事件 $A 、 B$ ，如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A B) = p_{1}$ ；如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.6, P (B) = 0.7$ ，那么 $P (A + \bar{B}) = p_{2}$ ，则 $p_{1}, p_{2}$ 分别为（）

A、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.9$ B、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.9$ C、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.72$ D、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.45$

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二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中不正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 b \cos C + 3 c \cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(3, 3 \sqrt{2})$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，用一平面 $α$ 截该三棱锥分别与棱 $A B$ ， $P B$ ， $P C$ ， $A C$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ，如图所示，记向量 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量，下列条件中，使 $D E ⊥ D G$ 的是（）

A、若 $\vec{n} // \vec{A B}$ B、若 $\vec{n} // \vec{P C}$ C、若 $\vec{n} // \vec{P B}$ D、若 $\vec{n} // \vec{A C}$

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三、填空题：共3小题，12题第一空2分，第二空3分，13~14题每小题5分，满分15分.

12. 已知 $a > 0, b > 0, \frac{5}{a + 1} + \frac{6}{b + 1} = 8$ ，则 $6 a + 5 b$ 的最小值为，此时 $\frac{b}{a} =$ .

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13. 若 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = 2 \sqrt{2} - 1$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩$ 的值为.

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14. 已知点 $M$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左､右焦点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，点 $N$ 在 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线上， $O$ 为原点，
$O N / / M F_{1}$ ， $|O N| = \frac{c}{4}$ ，其中 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列，满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{8}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, (n = 2 k - 1) \\ b_{n}, (n = 2 k) \end{array} (k \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{99}$ .

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16. 如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ B C D$ 中 $B C ⊥ B D$ 且 $B D = 2$ ．

(1)、若 $P$ 是 $A B$ 的中点，且 $C P ⊥ A D$ ，求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、在（1）的条件下求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积；

(3)、设二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $α$ ，求 $\cos α$ 的最小值．

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17. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示：
学业
成绩
日均体育锻炼时长/小时
$[0 ， 0.5)$
$[0.5 ， 1)$
$[1 ， 1.5)$
$[1.5 ， 2)$
$[2 ， 2.5)$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27

(1)、该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？

(2)、估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）；

(3)、依据小概率值 $a = 0.05$ 的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d ， (χ_{0.05}^{2} = 3.841)$ ．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $C$ 的左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 在第一象限上的一点，直线 $P B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，直线 $P A$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ .
（ⅰ）求证：四边形 $A B C D$ 的面积为定值；
（ⅱ）求 $△ P C D$ 面积的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = x - 2 ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $ln n < \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 2}} + \frac{1}{\sqrt{3^{2} - 3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} - n}}$ ．

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学业成绩	日均体育锻炼时长/小时
学业成绩	$[0 ， 0.5)$	$[0.5 ， 1)$	$[1 ， 1.5)$	$[1.5 ， 2)$	$[2 ， 2.5)$
优秀	5	44	42	3	1
不优秀	134	147	137	40	27