四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学

试卷更新日期：2026-05-03 类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. $cos 36 ° cos 6 ° + sin 36 ° sin 6 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = 2 \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{2}, A = 60^{\circ}$ ，则角 $B =$ （）

A、 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ B、 $135^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $45^{\circ}$

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3. 如图，正方形 $A M N D$ 和正方形 $B M N C$ 有公共边，与向量 $\vec{A N}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{D M}$ B、 $\vec{M C}$ C、 $\vec{N B}$ D、 $\vec{A D}$

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4. 已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 如图， $A$ 、 $B$ 两点在河的两岸，为了测量 $A$ 、 $B$ 之间的距离，测量者在 $A$ 的同侧选定一点 $C$ ，测出 $A$ 、 $C$ 之间的距离是 $100 m$ ， $∠ B A C = 105 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为（） $m$ ．

A、50 B、 $50 \sqrt{2}$ C、100 D、 $100 \sqrt{2}$

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7. 已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c \cdot cos C = a \cdot cos A$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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8. 已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 在区间 $[0, π)$ 内有且仅有3个零点和3条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{17}{6}, \frac{10}{3}]$ B、 $(\frac{17}{6}, \frac{23}{6}]$ C、 $[\frac{17}{6}, \frac{10}{3}]$ D、 $(\frac{7}{3}, \frac{10}{3}]$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）

9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）（多选）

A、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2), \vec{e_{2}} = (5, 7)$ B、 $\vec{e_{1}} = (3, 5), \vec{e_{2}} = (6, 10)$ C、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (3, 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1, 0), \vec{e_{2}} = (0, 0)$

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、由函数 $y = \cos 2 x$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位可得到函数 $f (x)$ 的图象

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $∠ A = 60 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $sin B + sin C \geq 1$ B、当 $a = 4$ ， $b = 3$ 时， $△ A B C$ 仅有一解 C、当 $a^{2} = b c$ 时， $△ A B C$ 为等边三角形 D、当 $a = 2$ 时， $A D$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $a = \sqrt{13}$ ，则 $\frac{b + c}{sin B + sin C} =$ ．

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13. 如图，三个相同的正方形相接，则 $α + β =$ ．

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14. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，且 $|\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ （ $x, y \in R$ ），则 $x + y$ 的最大值是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平面内的两个向量， $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$

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16. 已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x + \sqrt{3} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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17. 在锐角三角形 $A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围；

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18. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
$sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)],$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)],$
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)],$
$cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)] .$

(1)、证明： $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$

(2)、应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知 $cos (α + β) cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ，求 ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β$ 的值；
（ii）若 $α + β + γ = π$ ，求 $cos α + 2 cos β cos γ + 2 cos α cos β cos γ$ 的最大值.

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19. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b + c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{3}$ 时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求 $\vec{G B} \cdot \vec{G C}$ 的最大值；
（ⅱ）求 $|\frac{cos B}{sin C} \vec{A B} + \frac{cos C}{sin B} \vec{A C}|$ 值．

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