四川凉山州某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2026-06-20 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合要求.

1. 已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）

A、81 B、64 C、27 D、24

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4. 设 $f (x)$ 是可导函数，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 3 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- 2$

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5. 已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + \ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影，核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）

A、48种 B、72种 C、144种 D、216种

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7. 若 $a = \frac{1}{2} l n \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{2}{3} l n \frac{2}{3}$ ， $c = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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8. 设 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是1为首项，2为公比的等比数列，记 $M_{n} = a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + \dots + a_{b_{n}}$ ，则 $\{M_{n}\}$ 中不超过2025的项的个数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但没选全的得3分，有错选得0分.

9. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${[\cos (- 2 x)]}^{'} = 2 \sin x$ B、 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ C、 ${(e^{3})}^{'} = 3 e^{2}$ D、 ${(\lg 2 x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

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10. 下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点，则（）

A、 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A P}$ B、异面直线 $D E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $D E = \sqrt{5}$ D、点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知直线 $l_{1} : a x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 3 x - (a - 2) y + 2 a - 1 = 0$ 若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则a的值为．

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13. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法.

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14. 若不等式 $\ln a + b - a e^{b - 1} \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 8 x + \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [- 2, 4]$ ，求 $f (x)$ 的最大值与最小值．

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16. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17. 一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；

(1)、从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；

(2)、从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；

(3)、从中任取5个球，其中红球 $m$ 个，白球 $n$ 个（ $m$ ， $n \in N$ ），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．

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18. 已知点 $P (2, \sqrt{3})$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上的一点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的直线l交椭圆C于A，B两点，求 $△ P A B$ 面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} f (x) - x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > 4$ ．

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