广东广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈高二年级数学试卷

试卷更新日期：2026-05-04 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 某物体的位移 $y$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $S$ )满足函数关系式 $y = a \sin t - t$ ，其中 $a$ 为常数.若当 $t = 0$ 时，该物体的瞬时速度为 $1 m / s$ ，则当 $t = \frac{π}{2}$ 时，该物体的瞬时速度为（）

A、 $1 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $\sqrt{3} - 1 m / s$ D、 $\sqrt{3} + 1 m / s$

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2. 函数 $f (x)$ 的大致图象如图所示，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 3)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(0, 1) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (1) - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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4. 若 $C_{12}^{m} = C_{12}^{m - 2}$ ，则 $C_{m}^{1} + C_{m}^{2} + \dots + C_{m}^{m}$ 的值为（）

A、63 B、64 C、127 D、128

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5. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1} + a_{2} = 12$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 6$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $q =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、0或3 D、 $- 3$

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6. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 8 x + a \ln x$ 在区间 $(4, + \infty)$ 上是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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7. 已知 $A, B$ 分别为曲线 $y = e^{x} + x + 1$ 和直线 $y = 2 x - 3$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 设 $a = \frac{l n 4}{4}$ ， $b = \frac{4 - l n 4}{e^{2}}$ ， $c = \frac{\sqrt{e}}{2 e}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.

9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x - 2) - f (- 2)}{Δ x} < 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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10. 有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（）

A、6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240 B、6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240 C、6名同学平均分成三组分别到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种 D、6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种

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11. 设在区间 $D$ 上的可导函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $f^{'} (x)$ 的导函数为 $f^{″} (x)$ .若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”；又当函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $D$ 上单调递减时，称函数 $y = f (x)$ 为区间 $D$ 上的“上凸函数”.则（）

A、任何一个三次函数均有“拐点” B、函数 $f (x) = 2 x \cos x - 1$ 为区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的“上凸函数” C、若函数 $f (x) = x^{3} - 4 a x^{2} - 3 a^{2} x + 2$ 的“拐点”在 $y$ 轴的右侧，则函数 $f (x)$ 在区间 $(a, 4 a)$ 上单调递减 D、若函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + a x - a x \ln x$ 存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 $a = 8$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.

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13. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

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14. 定义在区间D上的函数 $y = f (x)$ ，若存在正数K，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq K | x_{1} - x_{2} |$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间D上满足K-条件．若函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - 2 x + 2$ 在区间 $[\frac{1}{e}, 1]$ 上满足K-条件，则K的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{9}{10}$ .

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16. 已知 ${(x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、若展开式的二项式系数和为256，求 $n$ 的值；

(2)、当 $n = 6$ 时，二项式的展开式中 $x ^{3}$ 的系数为 $A$ ，常数项为 $B$ ，若 $B = 4 A$ ，则求 $a$ 的值；

(3)、当 $n = 6 ， a = - 2$ 时，求二项式的展开式中系数最大的项.

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17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x + 1$ ，

(1)、求曲线y= $f (x)$ 在点（0， $f (0)$ ）处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4, 3]$ 上的最大值与最小值；

(3)、若方程 $f (x) = b$ 在 $x \in R$ 有三个不同的根，求 $b$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 a e^{2 x} + 2 (a - 1) e^{x} - x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数 $y = f (x)$ 满足如下条件：①在闭区间 $[a, b]$ 上的图象是连续的；②在开区间 $(a, b)$ 上可导，则在开区间 $(a, b)$ 上至少存在一个实数 $ξ$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ 成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

(1)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + m ln x, \forall a, b \in (1, 3)$ 且 $a < b$ ，
（i）若 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（ii）当 $- 1 \leq m < 0$ 时，求证： $\frac{2 f (a) + f (b)}{3} > f (\frac{2 a + b}{3})$ .

(2)、已知函数 $g (x) = x ln \frac{a e^{x}}{x} + a e^{x} - x (a > 0)$ 有两个零点，记作 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $0 < 2 x_{1} < x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + 2 x_{2}} > 32$

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