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相关试卷

1、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 2 = 0$ 的两根， $2 \cos (A + B) = 1$ .
（1）求角 $C$ 的度数；
（2）求 $A B$ 的长.

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2、已知直线 $l : x - 2 y - 2 = 0$ .

(1)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 垂直的直线 $l_{2}$ 的方程.

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3、已知直线 $l_{1} : x - m y - 2 = 0$ 过定点 $A$ ，直线 $l_{2} : m x + y + 2 = 0$ 过定点 $B$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $C$ ，则 $|A C| + |B C|$ 的最大值为.

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4、已知直线 $l$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距互为相反数且过点 $(1, 2)$ ，则这条直线的方程为.

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5、已知 $\vec{a} = (- 4, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则实数 $k$ 的值为.

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6、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、 $\vec{A D_{1}} ∥ (\vec{B_{1} B} + \vec{B C})$ B、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} B})}^{2} = 3 {\vec{A_{1} B_{1}}}^{2}$ C、 $\vec{A C_{1}} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A D}) = 0$ D、 $|\vec{A C_{1}}| = 3$

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7、已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x + 3 \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 1$ ，下列命题正确的有（）

A、由 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ 可得 $x_{1} - x_{2}$ 是 $π$ 的整数倍 B、 $y = f (x)$ 的表达式可改写成 $f (x) = 3 cos (2 x - \frac{5 π}{6}) + 1$ C、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 1)$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称

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8、已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, - 5, - 2)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2, - 1, 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 22$ D、 $|\vec{a}| = 6$

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为 $D_{1} E$ 的中点，则点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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10、已知点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，从点 $P (2, 0)$ 射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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11、设偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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12、已知 $\vec{a} = (1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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13、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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14、直线 $y = \sqrt{3} x + 3$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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15、已知集合 $A = {x | - 1 < x - 3 \leq 2}$ ， $B = {x | 3 \leq x < 4}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 < x < 5}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 < x \leq 5}$ C、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$

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16、在复平面内，复数 $z = (2 - i) (- 1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $k$ ，对任意的 $x \in D$ ，总有 $|f (x) - f (- x)| \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2024$ 与 $g (x) = x$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且具有性质 $P (2) .$ 求证： $y = f (x)$ 是偶函数；

(3)、已知 $a > 1$ ， $k$ 为给定的正实数，若函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2023^{2}) = 1$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是个增函数；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 2022) < \frac{1}{2}$ .

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19、已知函数 $f (x) = |x + 3 |-| x - 1|$ .

(1)、用分段函数的形式表示该函数；

(2)、在平面直角坐标系中直接画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a - 1, a^{2}] （ a \in R ）$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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20、若定义运算 $a ⊙ b = \{\begin{array}{l} b, a ⩾ b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = x ⊙ (2 - x)$ 的值域是.

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