广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2026-06-12 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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2. 数据 $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 的80%分位数为（）

A、8 B、9 C、6.4 D、7

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3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B$ 所成的角是（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知圆锥的底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则其侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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6. 已知平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 和直线 $m$ ， $n$ ， $c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ c$ ， $n ⊥ c$ ，则 $m // n$ C、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增，且 $f (- x) = f (x)$ ，则（）

A、 $f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\ln 2)$ B、 $f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\ln 2)$ C、 $f (\ln 2) > f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3})$ D、 $f (\ln 2) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} \frac{1}{e})$

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8. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - i$ B、 $\bar{z}$ 的模为 $4$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z - 2 \bar{z} = - 3 - 3 i$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，给出下列结论，其中正确结论有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值 C、把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象. D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上是增函数

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11. 在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D B = 4$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面ABC，且 $D B ⊥ A B$ ，则（）．

A、 $D B ⊥ A C$ B、平面 $D A B ⊥$ 平面ABC C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上．

12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1 - n, 1)$ ， $m > 0, n > 0$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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14. 如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是30°，线段 $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为60°，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是．

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四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程．

15. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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16. 潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段： $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ ，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
[90，100]
频数
10
$a$
30
30
10
频率
0.1
$b$
0.3
0.3
0.1

(1)、求频数分布表中 $a$ 和 $b$ 的值，并估计样本成绩的平均数；

(2)、经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，称 $\vec{a}$ 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2}), \vec{b} = (z_{3}, z_{4}), z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ ， $λ \in C$ ，我们有如下运算法则：① $\vec{a} + \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4}),$ $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；② $λ \vec{a} = (λ z_{1}, λ z_{2});$ ③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ ．

(1)、设 $\vec{a} = (1, 2 - i), \vec{b} = (1 + i, 1 - 2 i)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论： $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，判断上述结论是否正确，并说明理由；

(3)、设 $\vec{a} = (3 + 3 i, 3)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} ∣ \vec{p} = (z_{1}, z_{2}), z_{2} = z_{1} + 3, z_{1}, z_{2} \in C\}, \vec{b} \in Ω$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值，并证明当 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 取最小值时，对于任意的 $\vec{c} \in Ω, (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ．

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样本分数段	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	[90，100]
频数	10	$a$	30	30	10
频率	0.1	$b$	0.3	0.3	0.1