广东省深圳市红山中学等2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-13 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ x$ 是不大于10的整数 $}, B = \{x ∣ x^{2} = x\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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2. 复数 $\frac{5}{2 i + 1}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, 3), \vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(3, 0)$ D、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

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4. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = x |x| + x^{3}$ ，满足 $f (1 - a) + f (a^{2} - 3) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = cos(ω x + φ) (ω \in N^{*}, 0 < φ < \frac{π}{2}), f (0) = \frac{1}{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且只有一个零点，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知曲线 $y = e^{x - 1}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = \frac{a ln x}{x} (a > 0)$ 只有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $2e$ C、 $\sqrt{e}$ D、1

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8. 如图，正四面体容器 $A B C D$ 的容积为 $V$ ，里面装了体积为 $\frac{3}{4} V$ 的水，固定容器底面一边 $C D$ 将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点 $B$ 且与棱 $A C, A D$ 分别交于点 $M, N$ ，则平面 $B M N$ 与平面 $B C D$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{33}$ D、 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与 $A$ 商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（）
第 $n$ 年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
居民年收入/亿元
32.2
31.1
32.9
35.8
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
$A$ 商品销售额/万元
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0

A、居民年收入的第75百分位数是43.0亿元 B、 $A$ 商品销售额的平均数是40.1万元 C、居民年收入介于35到40亿元占比 $40 %$ D、A商品销售额与居民年收入成正线性相关

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10. 如图，直二面角 $A - C D - F$ 中， $O \in C D$ ，动平面 $M N O$ 分别交平面 $A B C D$ 和平面 $C D E F$ 于直线 $O M$ ､直线 $O N, ∠ N O M = \frac{π}{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、平面 $C D E F$ 内不存在与平面 $M N O$ 平行的直线 B、平面 $A B C D$ 内存在无数条直线与平面 $M N O$ 垂直 C、当平面 $M N O$ ，平面 $A B C D$ ，平面 $C D E F$ 两两垂直时，它们的交线也两两垂直 D、直线 $O M$ ，直线 $O N$ 中至少有一条与直线 $C D$ 垂直

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11. 已知函数 $f (x) = a ln x - b x (b > 0)$ 有大于0的极值， $e$ 为自然对数的底，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a - b e > 0$ C、 $f (1) < f (e)$ D、 $f (x)$ 有两个零点且其乘积大于 $e$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, S_{3} = 7$ ，则 $a_{5} =$ .

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13. 计算 ${sin}^{2} 18^{\circ} + {cos}^{2} 48^{\circ} + sin 18^{\circ} cos 48^{\circ}$ 的值为.

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14. 一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 满足 $sin A + \sqrt{3} cos A = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $∠ C = \frac{π}{4}, ∠ C A B$ 的角平分线交线段 $B C$ 于点 $D, A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} a_{3} = a_{10}, a_{1} a_{4} = a_{13}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 ${log}_{2} b_{n} = - a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2, P A = P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ ？若存在，试确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M$ 与焦点的距离为4，点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为 $\sqrt{3} p$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 为 $C$ 的准线上一动点，直线 $P O$ （ $O$ 为坐标原点）与 $C$ 交于另一点 $A$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线与 $C$ 交于点 $B$ .
①求证：直线 $A B$ 过定点；
②若 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{\frac{2}{x}} + a ln x + b (a, b \in R)$ .

(1)、 $x = \sqrt{2}$ 是否可以为 $f (x)$ 的极值点？请说明理由；

(2)、证明：若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上单调，则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调；

(3)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 4$ .

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第 $n$ 年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
居民年收入/亿元	32.2	31.1	32.9	35.8	37.1	38.0	39.0	43.0	44.6	46.0
$A$ 商品销售额/万元	25.0	30.0	34.0	37.0	39.0	41.0	42.0	44.0	48.0	51.0