北京市清华大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-12 类型：期中考试

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一、选择题共10小藤，每小藤4分，共40分．在每小腿列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 2\} ， B = \{x| 0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $[0, 2]$ B、 $[0, 2)$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(- 2, 3]$

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2. 设命题 $p : \exists x > 0, x^{2} + 2 x + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0, x^{2} + 2 x + 1 < 0$ B、 $\forall x > 0, x^{2} + 2 x + 1 > 0$ C、 $\forall x \leq 0, x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$

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3. 下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（）

A、 $y = 3^{- x}$ B、 $y = - x + \frac{1}{x}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = - x^{2} - x$

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4. 函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 已知 $a > b > c$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a + b > c$ B、2 $a > b$ C、 $a (c^{2} + 1) > b (c^{2} + 1)$ D、 $a + c > b$

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6. 函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $（ - \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty ）$

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7. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过350m³
2.61元/m³
超过350m³但不超过500m³的部分
2.83元/m³
超过500m³的部分
4.23元/m³
若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（）

A、550m³ B、531.8m³ C、505m³ D、366.3m³

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8. 已知 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，则“ $f (1) = f (- 1)$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，满足： $\forall x$ 、 $y \in D$ ，都有 $f (x y) = \frac{f (- x)}{y} + \frac{f (- y)}{x} + \frac{1}{x y}$ 成立，则 $f (- 1) =$ （　　）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = \{\begin{cases} f (x) + a, x \geq 0 \\ - f (x) - a, x < 0 \end{cases}$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得不等式 $g (x_{0}) (g (x_{0}) + a) < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值不可能为（）

A、 $- \frac{11}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. $4^{\frac{1}{2}} + {(- 2)}^{0} =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x}$ 的定义域为．

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13. 能说明命题：“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是假命题的一组 $a ， b$ 的取值为 $a =$ ， $b =$ ．

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14. 已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 a x, x \leq a \\ x + a, x > a \end{cases}$ ．若 $f (x)$ 的最小值为0，则实数 $a$ 的值是；若 $y = f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ，则
①函数 $f (x)$ 没有零点；
②函数 $f (x)$ 有最小值；
③对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立；
④对于任意 $M \in R$ ，存在 $x_{0} \in R$ ，对于任意 $x > x_{0}$ ，有 $f (x) > M$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 求下列关于 $x$ 的不等式的解集：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 > 0$ ：

(2)、 $\frac{x}{x - 1} \geq 2$ ；

(3)、 $x^{2} + a x - 2 a^{2} < 0$ ．

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17. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ．

(1)、求 $a b$ 的最大值：

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(3)、求 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值．

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18. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 a x + a + 1 = 0\} ， B = {x ∣ k x - 2 > 0}$ ．

(1)、若 $A = \{x_{1}, x_{2}\}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 28$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2, A \cup B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的一个零点为1，且满足 $f (0) = f (4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[a ， a + 2]$ 上的最小值；

(3)、设 $g (x) = k x - 3$ ，垂直于 $x$ 轴的直线 $l ： x = t (t \in R)$ 分别交函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象于 $M ， N$ 两点，若线段 $M N$ 的长度恒大于2，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、若 $f (t + 1) > f (3 - t)$ ，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - m x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 设正整数 $n \geq 4$ ，若由实数组成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2} ， \dots, a_{n}\}$ 满足：“对 $A$ 中任意三个不同的元素 $a, b, c$ ，均有 $a + b + c \in A$ 或 $a b c \in A$ ．则称 $A$ 具有性质 $P$ ．

(1)、分别判断 $A_{1} = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ 和 $A_{2} = \{\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由：

(2)、设 $a > b > c > 0$ ，集合 $B = \{- c, - b, - a, a, b, c\}$ 具有性质 $P$ ，记 $B$ 中不小于1的元素个数为 $k$ ，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若集合 $A$ 具有性质 $P$ ，求 $n$ 的最大值．

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每户每年天然气用量	天然气价格
不超过350m³	2.61元/m³
超过350m³但不超过500m³的部分	2.83元/m³
超过500m³的部分	4.23元/m³