浙江省浙里特色联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-11-19 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

查看试题解析
2. 若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

查看试题解析
3. 已知正三棱台的体积为 $7 \sqrt{3}$ ，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

查看试题解析
4. 已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足条件sin $α$ ＋cos $α$ ＝ $\frac{1}{5}$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析
5. 已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 4)$ 两点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(0, - 4)$ D、 $(2, - 3)$

查看试题解析
6. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，一个焦点为 $F (3, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A、B两点.若 $A B$ 的中点为 $(1, - 1)$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

查看试题解析
7. 若直线 $a x + b y - 10 = 0$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 0$ 相切于点 $(4, 2)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

查看试题解析
8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $Q$ 在直线 $l : x = a$ 上运动.若 $tan ∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）

9. 下列说法正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，点 $A (1, 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(1, - 2, - 3)$ B、在空间直角坐标系中， $\vec{n} = (1, 0, 0)$ 是坐标平面 $O x y$ 的一个法向量 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a}, \vec{b} - \vec{a}, \vec{a} - \vec{c}}$ 也是空间一组基底 D、以 $A (4, 1, 9)$ ， $B (10, - 1, 6)$ ， $C (2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等边三角形

查看试题解析
10. 已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， P为椭圆 $C$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为2 C、椭圆 $C$ 上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

查看试题解析
11. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ， P，Q分别是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 上的点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，则 $r = 4$ B、当 $r = 5$ 时，则两圆公共弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 1 = 0$ C、当 $r = 2$ 时，若直线 $P Q$ 的斜率存在，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $- \frac{7}{24}$ D、当 $r = 3$ 时，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 两条切线，切点分别为A，B，则存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$

查看试题解析

三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）

12. 在空间直角坐标系中，若 $\vec{a} = (2, 1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, x)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

查看试题解析
13. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为4，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{n} + 3$ 的平均数与方差的和为.

查看试题解析
14. 设函数 $f (x) = a + \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ 和 $g (x) = \frac{5}{12} x + 2$ .已知当 $x \in [- 4, 0]$ 时，恒有 $f (x) \leq g (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{c + a}{b} = \frac{sin C - sin B}{sin C - sin A}$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

查看试题解析
16. 已知偶函数 $f (x) = \frac{(x + 2) (x + a)}{x^{2}}$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $E$

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq \frac{t x + 1}{x}$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、若 $D = [- n, - m] \cup [m, n]$ ， $E = [2 - \frac{5}{m}, 2 - \frac{5}{n}]$ ，求实数m，n的值.

查看试题解析
17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $C (x, y)$ 与点 $A (- 2, 0)$ 的距离是它与点 $B (2, 0)$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求动点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、点 $D (m, n)$ 在动点 $C$ 的轨迹上，求 $\frac{n}{m + 2}$ 的最大值；

(3)、若直线 $l$ 过点 $M (- 2, - 4)$ 且与动点 $C$ 轨迹相交于 $E, F$ 两点，当 $|E F| = 8$ 时，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \frac{\sqrt{2}}{2} B C = \sqrt{2}$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1} = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A B C$ 外接球的表面积；

(3)、求 $C B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $Q$ 为椭圆上任意的点且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E$ 、 $F$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若以线段 $E F$ 为直径的圆经过点 $A (2, 0)$ .
①求证：直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出 $P$ 的坐标；
②求三角形 $A E F$ 面积的最大值.

查看试题解析