甘肃省定西市渭源县第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-16 类型：期中考试

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一、单选题（每题5分，共40分）

1. 已知两点 $A (7, - 4)$ ， $B (- 5, 6)$ ，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程是（）.

A、 $6 x - 5 y - 1 = 0$ B、 $6 x + 5 y - 1 = 0$ C、 $5 x - 6 y - 1 = 0$ D、 $5 x + 6 y - 1 = 0$

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2. 若点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 2 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0$ （ $λ$ 为任意实数）的距离取最大值时，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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3. 方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 k + 5 = 0$ 表示圆，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- \infty, - 2]$

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4. 已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 不共面，则与向量 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{c}$ 共面的向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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5. 在四面体 $O - A B C$ 中，空间一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + x \vec{O C}$ ，若四点共面，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 若 $\vec{a} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $2 \vec{b} - \vec{c}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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8. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (A, B, C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (μ, υ, ω) (μ υ ω \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{μ} = \frac{y - y_{0}}{υ} = \frac{z - z_{0}}{ω}$ ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，经过 $(0, 0, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{35}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{15}}{35}$

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二、多选题（每题6分，共18分）

9. 如图，多面体 $A B C D - E F H$ 是各棱长均为1的平行六面体 $A B C D - E F G H$ 截去三棱锥 $G - C F H$ 后剩下的几何体，若点 $P$ 是三角形 $C H F$ 的重心， $∠ E A B = ∠ E A D = ∠ D A B = 60 °, \vec{A Q} = λ \vec{A P}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A P = \frac{8}{3}$ B、异面直线 $A P, C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A P ⊥ B D$ D、若 $E, Q, B, D$ 四点共面，则点 $Q$ 是线段 $A P$ 的中点

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10. 下列关于空间向量的说法正确的是（）

A、零向量与任意向量平行 B、相反向量就是方向相反的向量 C、零向量不能作为任意直线的方向向量 D、方向相同且模相等的两个向量是相等向量

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11. 下列说法正确的是（）

A、“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”是“ $a = - 1$ ”的充分不必要条件 B、直线 $x sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、若圆 $M : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有两点到点 $N (1, 0)$ 的距离为1，则 $r$ 的取值范围是 $(4, 6)$ D、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴上的截距互为相反数的直线方程是 $x - y + 1 = 0$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 已知直线 $l_{1} : x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : y = 2 x + 2$ 互相垂直，则 $a$ 的值是．

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13. 已知 $x, y \in R$ ，且 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} - 11$ 的最大值为.

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14. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{°}$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为．

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四、解答题（5个小题，共77分）

15. 已知圆心为C的圆经过 $A (1, 1)$ ， $B (3, 3)$ 两点，且圆心C在直线 $l$ ： $x - 2 y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、求直线 $x - y - 4 = 0$ 被圆C所截得的弦长.

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16. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 1, 1)$ ， $C (- 4, 0)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $P (2, 0)$ ，且与圆 $E$ 相交截所得弦长为8，求直线 $l$ 的方程.

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17. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B D = C D = 3, A D = B C = 2, M, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中点．求

(1)、 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A N}, \vec{C M}$

(2)、求异面直线 $A N, C M$ 所成角的余弦值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $A B C D$ 是矩形， $P D = C D = 2. E$ 是 $P C$ 的中点，过 $E$ 作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $P C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ ， M是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面 $P A Q$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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