河北省张家口市2026届高三下学期一模数学试题

试卷更新日期：2026-03-23 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{x |0 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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2. 已知复数 $z = 2 + i$ ，复数 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，则 $|\frac{z}{\bar{z}}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 通过下表5组数据得到的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.84$ ，则 $\hat{b}$ 的值为（）
$x$
2
3
4
5
6
$y$
0.67
0.56
0.47
0.39
0.31

A、 $- 0.08$ B、0.08 C、 $- 0.09$ D、0.09

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5. 已知实数 $x > \frac{1}{2}$ ， $y > 1$ ，且满足 $2 x y - 2 x - y - 3 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m} = 7$ ， $S_{3 m} = 33$ ，则 $S_{2 m} =$ （）

A、18 B、19 C、20 D、21

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7. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x) = \sqrt{2}$ 的解，且满足 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{4}$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, θ)$ 上恰有2个零点，则实数 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{6})$ B、 $(\frac{11 π}{6}, \frac{17 π}{6}]$ C、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ D、 $(\frac{11 π}{12}, \frac{17 π}{12}]$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线C的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，且满足 $|F_{1} B| = 3 |F_{1} A|$ ， $l ⊥ O A$ （ $O$ 为坐标原点）， $∠ F_{1} B F_{2} = 60 °$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、3

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二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有 $A$ ， $B$ 两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对 $A$ 类问题的概率为 $\frac{1}{3}$ ，答对 $B$ 类问题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲同学回答 $A$ 类问题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（）

A、甲同学在第一轮答对试题的概率为 $\frac{3}{8}$ B、甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 $\frac{1}{3}$ C、甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 $\frac{225}{512}$ D、甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6

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10. 如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面边长为2，高为1，则下列说法正确的是（）

A、直线 $P A$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、该正四棱锥的外接球的表面积为 $9 π$ D、若平面 $P B C$ 与平面 $P A C$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P B C$ 与平面 $P B D$ 所成的角为 $β$ ，则 ${sin}^{2} α + {sin}^{2} β = 1$

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $1 \leq |P F_{1}| \leq 5$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ B、若 $b = 2$ ， $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = 0$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 C、若 $a = 5$ ， $b = 3$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $∠ P F_{1} F_{2} = 15 °$ ， $∠ P F_{2} F_{1} = 105 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知锐角 $α$ 满足 $tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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13. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (2 + x)$ ，当 $x \in (- \infty, 1]$ 时， $f (x) = e^{2 x} - e^{- x}$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为．

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14. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 $X$ 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $n a_{n} = S_{n} + 3 n (n - 1)$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b + 2 b cos A = c$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，求 $A D + \frac{1}{a}$ 的值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围．

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17. 如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $∠ B B_{1} A_{1} = ∠ B B_{1} C_{1} = 60 °$ ，点 $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B B_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $B D = B_{1} D = \sqrt{2}$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求点 $A$ 到平面 $A_{1} B M$ 的距离．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln (x - 1)$ ．

(1)、求曲线 $g (x)$ 在点 $(2, g (2))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > g (x) + 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $a f (x) + ln a < g (x) - 1$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到直线 $l : 2 x - y + \frac{7}{2} = 0$ 的距离为 $\frac{11 \sqrt{5}}{10}$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程．

(2)、点 $P$ 为直线 $l$ 上的一点，过点 $P$ 作 $E$ 的切线，切点分别为 $M, N$ ．
①问：直线 $M N$ 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
②若点 $P$ 在抛物线 $E$ 的准线上，切点 $M$ 在第一象限内，存在过点 $P$ 的直线与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作平行于 $P M$ 的直线，分别与直线 $M N$ 和直线 $M B$ 交于点 $G, H$ ，若 $| A G | = λ | A H |$ ，求 $λ$ 的值．

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	0.67	0.56	0.47	0.39	0.31