河北省盐山中学2026届高三一模数学试题

试卷更新日期：2026-01-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{- 5, - 3, 0, 1, 4, 6\}, B = \{x \in Z |- 7 < 2 x + 1 < 9\}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知 $(x + y i) (1 - i) = 5 - i (x, y \in R)$ ，则 $x - y =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、5

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3. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{2 π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 图象的对称中心可以为（）

A、 $(\frac{5 π}{24}, 0)$ B、 $(\frac{5 π}{24}, 1)$ C、 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ D、 $(\frac{7 π}{12}, 1)$

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4. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.1} ， b = {log}_{7} \frac{2}{3} ， c = 3 {log}_{7} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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5. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知 $A, B, P$ 为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、12 B、 $12 \sqrt{3}$ C、16 D、 $16 \sqrt{3}$

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6. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增， $f (x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称， $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 2) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2, 1] \cup [5, + \infty)$ B、 $[- 1, 1] \cup [5, + \infty)$ C、 $[- 1, 1] \cup [3, 5]$ D、 $[0, 1] \cup [2, 5]$

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7. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过点 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P, Q$ 两点（其中点 $P$ 在第一象限）．若 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 满足 $\vec{O P} + \vec{O Q} = 2 \vec{O M}$ ， $|A M| = \frac{\sqrt{10}}{4} a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{70}}{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}, P A = B C = 2, P C = 2 \sqrt{6}$ ，且 $A B ⊥ B C, A B ⊥ P A$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、20 $π$ B、24 $π$ C、28 $π$ D、32 $π$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（）

A、 $a = 0.025$ B、由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C、估计这1000名用户问卷的得分的 $80 %$ 分位数为85 D、估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75

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10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，分别过点 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 B、 $△ A^{'} F B^{'}$ 为锐角三角形 C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 D、 ${|A^{'} F|}^{2} {|B^{'} F|}^{2} \geq 256$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x}$ 与 $g (x) = e^{x}$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时，曲线 $f (x)$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 6$ B、若过点 $(0, a)$ 可作曲线 $g (x)$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围为 $(0, e)$ C、若 $x > 1$ 时， $g (x) \geq (x - 1) x f (x)$ ，则 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, e^{2}]$ D、若曲线 $f (x)$ 与曲线 $g (x)$ 有三条公切线，则 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7, S_{9} = 117$ ，则 $a_{11} =$ ．

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13. 已知过原点 $O$ 的直线与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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14. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $2 a \sin A + b \sin C = m c \sin A \sin B$ ．
（1）当 $A = \frac{2 π}{3}$ 时， $m$ 的取值范围是．
（2）当 $m$ 取得最小值时， $\tan A =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 12, a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ．

(1)、证明：存在非零实数 $k$ ，使得数列 $\{a_{n + 1} + k a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $S A B$ ， $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ， $△ S A B$ 是等边三角形．

(1)、若 $E$ 为棱 $S D$ 上一点，直线 $A S$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ ，证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = S A = 2$ ，直线 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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17. 某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
2025年3月
2025年4月
2025年5月
2025年6月
2025年7月
2025年8月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y /$ 千辆
6
7
10
11
12
14

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；

(2)、该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 238, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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时间	2025年3月	2025年4月	2025年5月	2025年6月	2025年7月	2025年8月
月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y /$ 千辆	6	7	10	11	12	14