山东省青岛市四区部分学校2025届高三下学期零模（期初调研）数学试题

试卷更新日期：2025-03-07 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则z的共轭复数为（）．

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、1 D、 $i$

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2. 圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(4, 3)$ 处的切线斜率是（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 设 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\tan 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 的值为（）．

A、2 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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4. 《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（）

A、 $\frac{100}{3}$ B、 $\frac{140}{3}$ C、100 D、140

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5. 下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌．

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
教材	无	有	有	无	有	有	无	有	有	无	无
同桌	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	梓晴	梓晴	陈伟
日期（续）		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
教材（续）		有	有	有	无	无	有	有	无	无	有
同桌（续）		刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞

从表格信息，我们可以推断（）：（附： $χ^{2} = \frac{N {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

A、有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B、有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C、有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D、若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率

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6. 四个顶点的 $x, y, z$ 坐标均为整数的正四面体体积的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 设函数 $f (x) = \log_{x} (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ D、 $\sum_{n = 100}^{9999} \log_{2} f (n) = 1$

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8. 设集合 $S = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10\}$ ， A是S的一个子集．若对任意 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (a_{i} \neq a_{j})$ 总有 $|a_{i} - a_{j}| \notin A$ ，则A中元素个数的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、多选题

9. 已知 $\tan (α + β) = \tan α + \tan β$ ，其中 $α \neq \frac{k π}{2}$ （ $k \in Z$ ）且 $β \neq \frac{m π}{2}$ （ $m \in Z$ ），则下列结论一定正确的是（）

A、 $\sin (α + β) = 0$ B、 $\cos (α + β) = 1$ C、 $\sin^{2} \frac{α}{2} + \sin^{2} \frac{β}{2} = 1$ D、 $\sin^{2} α + \cos^{2} β = 1$

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10. 对于函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，下列说法中正确的是（）

A、有三个零点 B、零点均分布在 $[- 2, 2]$ 内 C、零点为 $2 \cos 40 °$ ， $2 \cos 80 °$ ， $2 \cos 160 °$ D、零点为 $2 \cos 50 °$ ， $2 \cos 70 °$ ， $2 \cos 140 °$

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11. 设 $\{a_{n}\} (n \in N^{+})$ 为公比为 $q (q \neq 0)$ 的等比数列， $b_{n} = [a_{n}]$ ，其中符号 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则（）．

A、若 $a_{1} = 1$ ， $q = - \sqrt{2}$ ，则 $b_{4} = - 3$ B、若 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ 的最大值为3，则q的取值范围是 $[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、若 $b_{1} \neq 0$ ， $\{b_{n}\}$ 为常数列，则 $\{a_{n}\}$ 为常数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为同一个数列，则 $a_{1}$ 、q均为非零整数

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，则其焦点坐标为．

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13. 在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为．

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14. 小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是．

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四、解答题

15. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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16. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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17. 设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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18. 已知O为坐标原点，点W为 $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和 $⊙ M$ 的公共点， $\vec{O M} \cdot \vec{O W} = 0$ ， $⊙ M$ 与直线 $x + 2 = 0$ 相切，记动点M的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、若 $n > m > 0$ ，直线 $l_{1} : x - y - m = 0$ 与C交于点A，B，直线 $l_{2} : x - y - n = 0$ 与C交于点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，点A， $A^{'}$ 在第一象限，记直线 $A A^{'}$ 与 $B B^{'}$ 的交点为G，直线 $A B^{'}$ 与 $B A^{'}$ 的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若 ${(m + 1)}^{2} + n = 7$ ，过点H作 $l_{1}$ 的平行线，分别交线段 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ 于点 $T$ ， $T^{'}$ ，求四边形 $G T E T^{'}$ 面积的最大值．

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19. 给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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