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1、综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．
【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．
【已知数据】如图2，大竹竿 $A B = 6$ 米，O为 $A B$ 的中点，支架 $O D$ 垂直地面 $E F$ ．
【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下列问题：

(1)、当水桶在井里时， $∠ A O D = 120 °$ ，
① $∠ C A O =$ ．
②求此时支点O到小竹竿 $A C$ 的距离（结果精确到 $0.1 m$ ）．

(2)、如图3，当水桶提到井口时，大竹竿 $A B$ 旋转至 $A_{1} B_{1}$ 的位置，小竹竿 $A C$ 至 $A_{1} C_{1}$ 的位置，此时 $∠ A_{1} O D = 143 °$ ，求点A上升的高度（结果精确到 $0.1 m$ ）．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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2、综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一个一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由丁同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的方程．

(1)、这个求解过程中出错的同学有________；

(2)、请你写出正确的求解过程．

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3、在综合实践活动中，数学兴趣小组对 $1 \sim n$ 这 $n$ 个自然数中，任取两数之和大于 $n$ 的取法种数 $k$ 进行了探究．发现：当 $n = 2$ 时，只有 $\{1, 2\}$ 一种取法，即 $k = 1$ ；当 $n = 3$ 时，有 $\{1, 3\}$ 和 $\{2, 3\}$ 两种取法，即 $k = 2$ ；当 $n = 4$ 时，可得 $k = 4$ ；…若 $n = 5$ ，则 $k$ 的值为；若 $n = 2 m + 1$ 时，则 $k$ 的值为（用含m的式子表示）．

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4、如图，某厂房需要在河岸 $l$ 上建一个水泵站引水到C处，若考虑使铺设的水管长度最短，请你画出水泵站位置，并说明其数学道理．

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5、如图， $A O ⊥ O D$ ， $O C ⊥ O B$ ， $O E$ 平分 $∠ A O D$ ，若 $∠ A O C = 30 °$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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6、如图，直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ ， $O F ⊥ C D$ ．如果 $∠ E O F = \frac{1}{4} ∠ A O D$ ，求 $∠ E O F$ 的度数．

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7、下列判断正确的是（）

A、从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B、过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C、作出已知直线外一点到已知直线的距离 D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

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8、如图，已知 $A O ⊥ B O$ ， $∠ B O C = 40 °$ ， $O M$ 平分 $∠ A O C$ ， $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，则 $∠ M O N$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $45 °$ D、 $70 °$

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9、如图，已知平面内有一个 $∠ A O B$ 和三点 $C$ ， $D$ ， $E$ ，按要求画图，并回答问题：

(1)、画线段 $C E$ ，射线 $E D$ ，直线 $C D$ ；

(2)、过点 $D$ 画 $D F ⊥ O A$ ，垂足为点 $F$ ；

(3)、对于 $∠ A O B$ 内部的任意一点 $P$ ，点 $P$ 到 $∠ A O B$ 的两边的距离中的较短距离记为 $d_{P}$ ，按照上述记法，请你通过测量得出 $d_{C}$ $d_{E}$ （填“ $>$ ”“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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10、如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ 于点 $O$ ， $∠ E O D ∶ ∠ D O B = 3 ∶ 1$ ，则 $∠ C O E$ 度数为．

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11、如图所示，一架云梯 $A B$ 长 $25 m$ ，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离 $O B$ 长 $7m$ ，求这个梯子顶端与地面的距离 $O A$ 有多少米？如果梯子顶端下滑了 $4 m$ ，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了 $4 m$ 吗？请计算说明．

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12、如图，分别以 $Rt △ A B C$ 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{3} + S_{2} - S_{1} = 20$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、5 B、10 C、6 D、8

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13、某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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14、下列各图表示的 $y$ 不是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、阅读下列材料：在计算 $(x - 1) (x^{n} + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1)$ 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示：
【观察】
① $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
② $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
③ $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
……

(1)、【归纳】由此可得： $(x - 1) (x^{n} + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1) =$ ________．

(2)、【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：
计算： $2^{2023} + 2^{2022} + 2^{2021} + \dots + 2^{2} + 2 + 1$ ；

(3)、【拓展】若 $(x - 1) (x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0$ ，求 $x^{2025} - 1$ 的值．

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16、河南是农业大省，小麦在河南广泛种植．为了解不同品种的小麦的生长状况，某中学生物实践小组利用学校生物实验园中两块等面积的土地种植“郑麦379”和“郑麦1860”两个品种的小麦，两块麦田各撒入1000枚小麦种子，且均发芽成长.4月份，同学们在两块麦田中各随机选取10株小麦测量高度记录小麦长势，并对它们进行整理、描述和分析（高度用 $x cm$ 表示，共分为四组：A． $60 \leq x < 70$ ， B． $70 \leq x < 80$ ， C． $80 \leq x < 90$ ， D． $x \geq 90$ ）．
下面给出了部分信息：
“郑麦379”的高度（单位： $cm$ ）：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
“郑麦1860”在D组中的高度（单位： $cm$ ）：92，92，97，99，99，99．
品种
平均数
中位数
众数
“C”组所占百分比
郑麦379
90
a
94
$10 %$
郑麦1860
90
92
b
$20 %$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ____， $b =$ ____， $m =$ ____；

(2)、请估计两块麦田中在A组的小麦的株数；

(3)、根据以上数据，你认为哪种小麦的长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）

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17、（1）计算： $|- 3| + {(3.14 - 2025)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$ ；
（2）化简： ${(3 x - 1)}^{2} - (3 x + 2) (3 x - 2)$ ．

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18、如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $∠ C O D = 120 °$ ， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ，设 $∠ A O C = α$ ．

(1)、如图①，若 $α = 20 °$ ，则 $∠ D O E$ 的度数是___________；当 $∠ A O C = α$ 时．用含 $α$ 的式子表示 $∠ D O E$ 的度数是___________；

(2)、若将如图①中的 $∠ C O D$ 绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变．
①求 $∠ A O E$ 与 $∠ B O D$ 的度数之间的数量关系；
②若OF是 $∠ A O C$ 内的一条射线，且 $∠ A O C + ∠ B O D - 2 ∠ A O F = 90 °$ ，试说明 $∠ A O F + 2 ∠ C O E = 105 °$ ．

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19、已知点 $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O D$ 平分 $∠ A O C$ ．

(1)、如图①所示，射线 $O E$ 在 $∠ A O C$ 内部， $∠ C O E = \frac{1}{3} ∠ B O C$ ，若 $∠ B O E = 64 °$ ．求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、如图②所示，射线 $O E$ 在直线 $A B$ 下方， $∠ B O C : ∠ A O D : ∠ A O E = 2 : 5 : 8$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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20、如图所示，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点位于同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）

(1)、作线段 $A B$ 、射线 $A D$ ；

(2)、连接 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ；

(3)、作射线 $B C$ ，在射线 $B C$ 延长线上作线段 $C E = 2 B C$ ，若 $B C = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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品种	平均数	中位数	众数	“C”组所占百分比
郑麦379	90	a	94	$10 %$
郑麦1860	90	92	b	$20 %$