广东省梅州市兴宁市田家炳学校2025-2026学年八年级数学下学期期中试题

试卷更新日期：2026-05-27 类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（）

A、25cm B、15cm或25cm C、20cm D、20cm或25cm

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3. 到三角形三边距离相等的点是（）

A、三条边中线的交点 B、三条边的高的交点 C、三个角的角平分线的交点 D、三条边的垂直平分线的交点

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4. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $8 a^{2} b^{3} c = 2 a^{2} \cdot 2 b^{3} \cdot 2 c$ B、 $x^{2} y + x y^{2} + x y = x y (x + y)$ C、 $3 a + 1 = a (3 + \frac{1}{a})$ D、 $3 x^{3} + 27 x = 3 x (x^{2} + 9)$

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5. 如图，已知 $△ A B C$ 的面积为12，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 边上的中点，则 $△ A C E$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交 $A C$ ， $A B$ 于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于 $D E$ 的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线 $A M$ 交 $B C$ 于点F，若 $B F = 5$ ， $B C = 9$ ，则点F到 $A B$ 的距离为（）

A、3 B、4 C、4.5 D、5

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7. 如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交腰 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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8. 若 $(a - 2) x^{|a - 1|} - 2 < 0$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式．则 $a$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $0$ 或 $2$

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9. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球 $x$ 个，可列不等式组（　　）

A、 $\{\begin{array}{l} 2 x \geq 50 - x \\ 80 x + 50 (50 - x) < 3200 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x > \frac{1}{2} (50 - x) \\ 80 x + 50 (50 - x) < 3200 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x \geq \frac{1}{2} (50 - x) \\ 80 x + 50 (50 - x) \leq 3200 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x \geq \frac{1}{2} (50 - x) \\ 50 x + 80 (50 - x) \leq 3200 \end{array}$

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10. 不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ x + 1 > 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）

11. 把多项式 $2 x^{2} + 4 x y$ 分解因式，应提取的公因式是．

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12. 若 $a + b = 3$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 6 b + 2026$ 的值为．

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13. 如图，在直角 $△ A B C$ 中， $B C = 9$ ，把 $△ A B C$ 沿点A到点E方向平移至 $△ E F G$ 处， $E G$ 与 $B C$ 交于点M，若 $C M = 3$ ，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为

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14. 如图，在平面直角坐标系中，若将 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O A^{'} B^{'}$ ，那么 $B (8, 3)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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15. 如图， $△ A B C$ 的面积为16， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $P$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ P C D$ 周长的最小值为．

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三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. 解不等式： $3 x - 1 \geq 2 (x + 2)$ ，并把解集表示在数轴上；

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17. 解不等式组 $\{\begin{matrix} x - \frac{3}{2} (2 x - 1) \leq 4 \\ \frac{1 + 3 x}{2} > 2 x - 1 \end{matrix}$ ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

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18. 如图，点 $A ， D ， B ， E$ 在同一条直线上， $A C = E F$ ， $A D = B E$ ， $B C = D F$ ．求证： $△ A C B ≌ △ E F D$ ．

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四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E，点F在 $A C$ 上， $B D = D F$ ．

(1)、求证： $C F = B E$ ；

(2)、若 $A C = 6, A B = 10$ ，求 $A F$ 的长．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 4$ 与正比例函数 $y = 3 x$ 交于点 $A (1, m)$ ．

(1)、求m和k的值．

(2)、若点 $B (3, n)$ 在直线 $y = k x + 4$ 上，连接 $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、结合图象，直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 < 3 x$ 的解集．

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21. 若一个数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $10 = 1^{2} + 3^{2}$ ，所以10是“完美数”，再如： $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“完美数”．

(1)、通过计算判断45是否为“完美数”；

(2)、已知 $S = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 的值．

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五、解答题（三）：（本大题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

22. 2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．

(1)、若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．

(2)、该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

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23. 阅读理解并解答：

(1)、我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如： $x^{2} + 2 x + 3 = (x^{2} + 2 x + 1) + 2 = {(x + 1)}^{2} + 2$ ，
$∵ {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ， $∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ ．
则这个代数式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值是______，这时相应的 $x$ 的值是______．

(2)、求代数式 $- x^{2} + 14 x + 10$ 的最小（或最大）值，并写出相应的 $x$ 的值．

(3)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，满足 $a^{2} + b^{2} = 10 a + 8 b - 41$ ，且 $c$ 是 $△ A B C$ 中最长的边，求 $c$ 的取值范围．

(4)、若 $M = 2 (3 x^{2} + 3 x + 1)$ ， $N = 4 x^{2} + 2 x - 3$ ，试比较 $M$ 、 $N$ 的大小，并说明理由．

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