相关试卷

1、综合与实践
问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究．
实践操作，提出问题：

(1)、梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板 $A D E$ 的直角顶点 $E$ 落在 $B C$ 上，已知， $∠ D A E = 60 °, ∠ B = ∠ C = 45 °$ ，且 $A D ∥ B C$ ，则 $∠ C A E$ 的度数为________ $°$ ．

(2)、善思小组的同学们将一个三角板 $A B C (∠ B = ∠ A C B = 45 °)$ 放在一组直线 $M N$ 与 $P Q$ 之间，如图2，并使直角顶点 $A$ 在直线 $M N$ 上，顶点 $C$ 在直线 $P Q$ 上，现测得 $∠ M A B = 36 °, ∠ P C B = 9 °$ ，猜想 $M N$ 与 $P Q$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、勤学小组的同学们将三角板 $A B C (∠ B = ∠ A C B = 45 °)$ 按图3方式摆放，使顶点 $C$ 在直线 $M N$ 上，直角顶点 $A$ 在直线 $P Q$ 上，若 $M N ∥ P Q$ ，请直接写出 $∠ P A B$ 与 $∠ M C A$ 之间的数量关系_________．

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2、如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上，连接 $A E$ ， $C D$ ， $D E$ ， $A B = C D$ ， $E B = E D$ ， $D E$ 平分 $∠ B D C$ ．

(1)、求证： $∠ D E B = ∠ A E C$ ．

(2)、若 $B E = 4$ ， $C E = 6$ ，求 $A C$ ．

(3)、如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线交 $E D$ 延长线于点 $F$ ，作 $C G ⊥ A E$ ，垂足为 $G$ ，求 $\frac{E G}{D F}$ 的值．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线为 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a + 1$ ．（ $a$ 为常数， $a < 0$ ）

(1)、当 $a = - 1$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、将抛物线向下平移 $1$ 个单位后与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $A B$ 的长．

(3)、当 $t \leq x \leq t + 2$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）时， $y$ 的最大值与最小值之差为 $5$ ，求 $a$ 的取值范围．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点D在边 $A C$ 上，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点E．

(1)、求证： $A E$ 平分 $∠ B A C$ ．

(2)、若 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，求 $B E$ 的长．

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5、跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵ $\sqrt[3]{1000} = 10$ ， $\sqrt[3]{1000000} = 100$ ，又∵ $1000 < 59319 < 1000000$ ， ∴ $10 < \sqrt[3]{59319} < 100$ ， ∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵ $9^{3} = 729$ ，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{59} < \sqrt[3]{64}$ ，则 $3 < \sqrt[3]{59} < 4$ ，可得 $30 < \sqrt[3]{59319} < 40$ ，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

(1)、现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是                 位数；
②它的立方根的个位数字是                 ；
③19683的立方根是                  ．

(2)、求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）

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6、共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
使用次数
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
人数
$1$
$9$
$14$
$13$
$11$
$2$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这组数据的中位数是______，众数是______；

(2)、若该校某天有 $2000$ 名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在 $4$ 次及 $4$ 次以上的学生人数．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $G$ 是 $B C$ 上任意一点（点 $G$ 与 $B$ 、 $C$ 不重合）， $A E ⊥ D G$ 于 $E$ ， $C F ⊥ D G$ 于 $F$ ．

(1)、求证： $△ A E D ≌ △ D F C$ ；

(2)、求证： $A E = F C + E F$ ．

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8、解分式方程： $\frac{x}{x + 2} - 1 = \frac{x - 4}{3 x + 6}$

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9、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C = C D = 2$ ，连结 $A C, B D$ ，若 $△ A B D$ 与 $△ C B D$ 的面积相等，则 $A C$ 的长为．

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10、已知：点 $P (m, n)$ 在直线 $y = - x + 5$ 上，也在双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 上，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为．

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11、现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为．

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12、如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是 $37 °$ ，测得这栋楼的底部B处的俯角是 $60 °$ ，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是米（精确到0.01米）．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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13、不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 4 \geq 0 \\ 4 - 2 x < - 1 \end{matrix}$ 的解集是．

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14、计算： $\sqrt{9} - |- 2| =$ ．

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15、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中，D是边 $A B$ 的中点．点E在斜边 $A C$ 上，从点A出发，运动到点C时停止，设 $A E$ 为 $x$ ， $D E^{2}$ 为 $y$ ．如图2， $y$ 关于 $x$ 的函数图象与 $y$ 轴交于点 $P (0, 100)$ ，且经过 $N (n - 9, 100)$ 和最高点 $M (n, m)$ 两点．下列选项正确的是（）

A、 $∠ A = 30 °$ B、 $m = 325$ C、 $n = 24$ D、y的最小值为64

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16、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2，以A为圆心， $A B$ 长为半径作弧，分别与 $B C$ ， $C D$ 交于E，F两点，若 $\overset{⌢}{B E}$ 与 $\overset{⌢}{E F}$ 的长之比为 $1 : 2$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $\frac{10}{9} π$ C、 $\frac{8}{7} π$ D、 $\frac{4}{3} π$

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17、某中学八年级举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（）

A、该校八年级学生有1200人 B、80-89分段的人数是300人 C、在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108° D、59分及以下的人数最少

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18、中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在 $C$ 处立一根标杆 $C D$ ，且 $C D = 3 m$ ，然后小明走到 $E$ 处，且 $C E = 2 m$ ，此时他的眼睛所处位置为 $F$ ，与屋顶最高处 $A$ 和标杆顶端 $D$ 在一条直线上．已知 $∠ A B C = ∠ D C E = ∠ F E B = 90 °$ ， $B C = 50 m$ ，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离 $E F = 1.6 m$ ，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离 $A B$ 的长．

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19、天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括 $A$ (艺术素养课程)， $B$ (科学探索课程)， $C$ (体育运动课程)， $D$ (社会实践课程)， $E$ (传统文化课程)．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图：
根据图中信息，请回答下列问题：

(1)、参加投票的学生共___________人；

(2)、估计全校 $1500$ 人中参加 $D$ (社会实践课程)的学生有多少人？

(3)、现小欢、小乐从最受欢迎的 $B,C,E$ 三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率．

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20、实践与操作
【背景阅读】
有人说过：几何学有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫作黄金分割数，把宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为 $0.618$ ）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、均匀的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
【实践操作】
下面我们折出一个黄金矩形．
第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形 $M N C B$ ，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形对折成两个相等的矩形 $M N A F$ 和 $F A C B$ ．再把纸片展平；
第三步：如图3折出矩形 $F A C B$ 的对角线 $A B$ ，并沿 $A Q$ 折叠纸片，使点 $B$ 落在 $A C$ 延长线上的点D处；
第四步：展平纸片，过点 $D$ 折出 $D E$ ，使 $D E ⊥ C D$ ，得到矩形 $B C D E$ ，如图4所示，则矩形 $B C D E$ 就是黄金矩形．
【问题解决】

(1)、图3中， $A B =$ ______； $N D =$ ______；（结果均保留根号）

(2)、请根据折纸的过程，写出图4中矩形 $B C D E$ 是黄金矩形的理由；

(3)、在实际应用的过程中，常常需要进行代数式的化简，当一个代数式的分母中含有无理数（带根号的式子）时，我们可以利用以下方法把分母中的根号化去．这一过程称为小母有理化．
如： $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1 \times (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) \times (\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ．
请结合以上内容，通过计算判断图4中矩形 $M N D E$ 是否为黄金矩形．______．（填“是”或“否”）

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