相关试卷

1、在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线 $l_{1}$ 经过点 $A (- 8, 1)$ 和 $B (- 4, 3)$ ，右侧边界线 $l_{2}$ 的函数表达式为 $y = - 3 x + 6$ ， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $P$ ，即点 $P$ 为灭点．
（1）求左侧边界线 $A B$ 的函数表达式；
（2）求灭点 $P$ 的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持 $l_{1}$ 的位置不变，将 $l_{2}$ 向上平移 $c$ 个单位长度 $(c > 0)$ ，使得灭点的纵坐标不小于6，求 $c$ 的取值范围．

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2、学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表．

平均数
中位数
方差
甲
$8.8$
9
$0.56$
乙
$8.8$
$a$
$0.96$
丙
$b$
8
$0.96$
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由；

(3)、在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为 $c$ 和 $d$ ，则 $c$ 与 $d$ 的大小关系为：______．

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3、 $2016$ 年某市政府投资了 $150$ 万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车， $2018$ 年投资了 $216$ 万元，求 $2016$ 年到 $2018$ 年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率．

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4、计算： ${(- 2)}^{2} + \sqrt{12} - |- 4|$ ．

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5、在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ ， $F$ 为对角线 $B D$ 上不重合的两个点（不包括端点）， $B E = D F$ ，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $F G$ ， $C F$ ．此时 $A G$ 与 $F C$ 的位置关系为；若 $F G = F C$ ，则 $B E$ 的长为．

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6、数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图所示．其中射线 $O P$ 为 $∠ A O B$ 的平分线的编号为．

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7、若点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + k$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系为： $y_{1}$ $y_{2}$ ．

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8、在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 垂直平分其中一条半径，弦 $A B$ 所对的圆心角为．

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9、如果某型号飞机降落后滑行的距离 $s$ （单位：米）关于滑行的时间 $t$ （单位：秒）的函数解析式是 $s = 54 t - \frac{3}{2} t^{2}$ ，则该飞机着陆后滑行最长时间为（）秒．

A、18 B、9 C、6 D、 $3.6$

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10、二次函数 $y = x^{2}$ 的图象经过下列点中的（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(4, 2)$

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11、我市某日的气温是 $- 2^{\circ} C \sim 4^{\circ} C$ ，这天的最高气温与最低气温的差是（）

A、 $2^{\circ} C$ B、 $4^{\circ} C$ C、 $6^{\circ} C$ D、 $- 6^{\circ} C$

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12、某商场销售一种商品，每件进价为 $6$ 元．调查发现，当销售单价为 $8$ 元时，平均每天可以销售 $200$ 件；而当销售单价每提高 $1$ 元时，平均每天销量将会减少 $10$ 件，且物价部门规定：销售单价不能超过 $12$ 元．设该商品的销售单价为 $x$ 元 $(x > 8)$ ，每天销量为 $y$ 件．

(1)、请直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、商场要想每天获得 $720$ 元的销售利润，销售单价应定为多少元？

(3)、销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

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13、当 $- 1 \leq x \leq 5$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ 的最大值为．

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14、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ （单位： $m$ ）与小球的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2} (0 \leq t \leq 6)$ ．有下列结论： $①$ 小球从抛出到落地需要 $6 s$ ； $②$ 小球运动 $1 s$ 时的高度小于运动 $4 s$ 时的高度； $③$ 小球运动中的高度可以是 $46 m$ ，其中正确结论是（）

A、 $②$ B、 $① ②$ C、 $② ③$ D、 $① ② ③$

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15、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是 $91 .$ 设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（）

A、 $x + x^{2} = 91$ B、 $1 + x^{2} = 91$ C、 $1 + x + x^{2} = 91$ D、 $1 + x (x - 1) = 91$

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16、已知 $(- 3, y_{1}), (0, y_{2}), (2, y_{3})$ 在二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是( )

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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17、【问题探究】

(1)、如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，则AD与BC的位置关系是.

(2)、【知识迁移】
如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC、EF的中点.试探究BE和MN的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展应用】
如图3，正方形ABCD是一块蔬菜种植基地，边长为 $6 \sqrt{2}$ 千米，对角线BD为该基地内的一条小路，点G为小路BD上一个采购点，且BG=3DG.管理人员计划在小路BD上确定一点E（不与点B、D重合），连接AE，以线段AE为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域 $(∠ E A F = 9 0^{\circ}),$ 用来种植新品有机蔬菜，N为临时仓库，其中N是线段EF的中点.现要沿GN修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道GN是否存在最小值?若存在，并直接写出GN的最小值；若不存在，请说明理由.

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18、综合与实践：利用相似三角形测量距离
【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i，这就是光的反射定律.
【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度.

(1)、【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，已知淇淇的身高是1.54m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4cm，求旗杆DE的高度.

(2)、【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长2m，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10m，落在斜坡上的影长为 $2 \sqrt{2} m, ∠ D C E = 4 5^{\circ}$ ，求旗杆AB的高度?

(3)、【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差?（写出一条即可）

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19、“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.据统计，2025年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为1.6万人次，第三天游客人数达到2.5万人次.

(1)、求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；

(2)、景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为6元.根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得6300元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元?

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20、如图，在▱ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC=90°.

(1)、求证：四边形ABDE是矩形；

(2)、连接OC.若AB=2，BD= $2 \sqrt{5}$ 求OC的长.

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	平均数	中位数	方差
甲	$8.8$	9	$0.56$
乙	$8.8$	$a$	$0.96$
丙	$b$	8	$0.96$