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1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E 是BC的中点，BD⊥AD 于点D.若AC=7，AB=4，则DE的长为 ( )
A、1 B、2 C、 D、 -
2、 【阅读材料】
问题
如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析
由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取
构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
(1)、如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；(2)、如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；(3)、【灵活应用】如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为 ， CF 扫过的面积为.
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3、【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边三角形ABC中，AB=3，点M，N分别在边 AC，BC上，且 AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点 P，作射线 AP.
在【问题呈现】的条件下，回答下列问题：
(1)、求证：AM=MP；(2)、∠CAP 的大小为度，线段 MN长度的最小值为.(3)、【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形 BCDE 是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 M在AC 上，点 N 在 DE 上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳 MN长度的最小值为米. -
4、小明在求代数式 的最小值时，采用如下方法：如图，在平面直角坐标系中，设M(x，0)为x轴上的一个动点，选取点 A(0，1)和B(4，2)，根据两点之间的距离公式，得 通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值.由此小明求出 的最小值为.
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5、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，若 D 为直线 AC左侧一点，当△ABC∽△CAD时，BC+CD的最大值为 ( )
A、 B、 C、 D、 -
6、对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 据此易得 小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24，其中3x-n>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 ( )
A、2 B、4 C、6 D、8 -
7、在每个小正方形的边长均为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN， 则 所 有 满 足 ∠MPN = 45°的△PMN中，边 PM的长的最大值是 ( )
A、4 B、6 C、 D、3 -
8、老师布置的作业中有这样一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取 AB 的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是 ( )
A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙 -
9、转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用.请解答下面的问题.
如图①， 在 △AOB 中， OA = OB，∠AOB=90°.
(1)、【基础巩固】将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转60°得到△DCB，如图②，连结 OC，求证：OC=OB.
(2)、【思考探究】将图①中△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到△DCB，如图③，使 ， 连结OC，AD.
①求证：△OBC∽△ABD；
②用等式表示 AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由.
(3)、【拓展延伸】将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转某个角度(小于 180°)并缩小得到△DCB，如图④，使 连 结 OC，AC，AD.当OC=OB时，求 的值.
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10、在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.
(1)、初步尝试：我们知道： ， ；发现结论： tan A ((填“=”或“≠”).
(2)、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求 的值.研究思路：小明想构造包含 的直角三角形，延长CA至点 D，使得 DA=AB，连结BD，所以得到 即转化为求∠D的正切值，那么.
(3)、在△ABC 中，∠A 为锐角， ∠B=2∠A，AB=3 ， 求 S△ABC的值. -
11、在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求 的和中，“…”代表按此规律不断求和.我们可设 则有 即 解得x=2，故
类似地，请你计算： .(直接填计算结果即可)
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12、如图是钉板示意图，每相邻4 个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
(1)、AB 与CD 是否垂直? (填“是”或“否”)；(2)、AE=. -
13、公元前5世纪下半叶古希腊数学家希波克拉底解决了“化月牙为方”问题.如图①，等腰直角三角形 ABC 内接于半圆O，以 AB 为直径作半圆，与 围成月牙形阴影部分，希波克拉底发现阴影部分面积等于△OAB 的面积，于是一个以曲线弧为边的图形面积转化为一个直边图形的面积.如图②，若P 是 上一点， 连结OP 交AB 于点Q，PQ·PO= 则阴影部分面积为( )
A、2 B、4 C、 D、 -
14、如图，已知 C为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点A 爬到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A、5 B、 C、 D、 -
15、如图，△ABC 是边长为 4的等边三角形，点 D，E，F分别在边 AB，BC，CA 上运动，且满足 AD=BE=CF.
(1)、求证：△ADF≌△BED；(2)、设AD 的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数表达式；(3)、结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD 的增大如何变化. -
16、如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，E是AD 上一点，AE=2. F是 AB上的动点，连结 EF，G 是 EF上一点，且 (k为常数，k≠0).分别过点 F，G作AB，EF的垂线相交于点 P.设AF的长为x，PF的长为 y.
(1)、若 则y的值是；(2)、求y与x之间的函数表达式；(3)、在点 F 从点 A 到点 B 的整个运动过程中，若线段CD上存在点 P，则k的值应满足什么条件?直接写出k的取值范围. -
17、图①是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm.
(1)、求3 个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米.(2)、若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm(如图②)，并将这x个叠放在一起的纸杯按如图③所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计.①求y关于x的函数表达式；
②若竖立的方盒的高为 33.5 cm，求 x 的最大值.
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18、如图，点C，D 在线段 AB上(点 C在点 A，D之间)，分别以 AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF 与 DE 交于点 H，延长AE，BF交于点G，AG的长为c.
(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为；(2)、若四边形 EHFG 的面积与△CDH 的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为. -
19、 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD<CG.若 FG=AE，∠1=α，则∠2 的度数为(用含α的式子表示).
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20、如图，AB 为半圆的直径，AB=2，C为半圆上一点，点D 和点B关于直线AC对称，连结AD 交AC于点E，连结CE.设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为.
