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1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $D$ 为 $A C$ 边上任一点，连接 $B D$ ，延长 $B D$ 到 $E$ ，使 $B E = A B$ ．设 $∠ A B D = α$ ．

(1)、则 $∠ C A E$ 的大小为______（用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $∠ C B E$ 的平分线上，连接 $E F$ 、 $C E$ ，若 $∠ E C F = 60 °$ ，判断 $△ E F C$ 的形状并加以证明．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 D是 $B C$ 的延长线上一点， $E H$ 是线段 $B D$ 的垂直平分线， $D E$ 交 $A C$ 于点 F．求证：点 E在线段 $A F$ 的垂直平分线上．

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3、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为______．

(3)、在直线 $l$ 上确定点 $P$ ，使得 $P B + P C$ 最小．

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4、如图，已知D为 $△ A B C$ 边 $B C$ 延长线上一点， $D F ⊥ A B$ 于F交 $A C$ 于E， $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 50 °$ ，求 $∠ A C D$ 的度数．

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5、如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD= ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40^{\circ}$ ， $∠ C = 45^{\circ}$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $∠ D A E =$ 度.

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7、如图，要测量河两岸相对两点 $A$ 、 $B$ 间的距离，先在过点 $B$ 的 $A B$ 的垂线上取两点 $C$ 、 $D$ ，使 $C D = B C$ ，再在过点 $D$ 的垂线上取点 $E$ ，使 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上，可证明 $△ E D C ≌ △ A B C$ ，所以测得 $E D$ 的长就是 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，这里判定 $△ E D C ≌ △ A B C$ 的理由是．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $△ A B C$ 的面积为15， $A B = 6$ ， $D E = 3$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、2

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9、数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含 $30 °$ 的直角三角板就可以画角平分线，如图，取 $O M = O N$ ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点 $P$ ，则射线 $O P$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）

A、 $SAS$ B、 $ASA$ C、 $AAS$ D、 $HL$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $B O$ 、 $C O$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ．若 $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $55 °$

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11、已知点 $P (3, - 4)$ ，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(4, - 3)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 3, 4)$ D、 $(3, 4)$

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12、已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（）

A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm

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13、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、7，8，9 B、4，5，6 C、5，12，13 D、8，9，10

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A C = 13, B A = 5$ ，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 $C - A - B$ 运动．设点P的运动时间为 $t (t > 0)$ ．

(1)、 $B C =$              ．

(2)、求斜边 $A C$ 上的高线长．

(3)、①当P在 $A B$ 上时， $A P$ 的长为             ， t的取值范围是                ．（用含t的代数式表示）
②若点P在 $∠ B C A$ 的角平分线上，则t的值为              ．

(4)、在整个运动过程中，直接写出 $△ P A B$ 是以 $A B$ 为一腰的等腰三角形时t的值．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $A B = A C$ ，求证： $△ E B C ≌ △ D C B$ ；

(2)、如图2，点 $F$ 为 $B C$ 边上的中点，连接 $D F$ 、 $E F$ 、 $D E$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、在(2)的条件下，若 $∠ E B C + ∠ D C B = 60 °$ ， $D E = 6$ ，求 $△ D E F$ 的周长．

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16、已知：方格纸中的每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ．

(1)、请以 $x$ 轴为对称轴，画出与 $△ A B C$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、点 $P (a + 1, b - 1)$ 与点 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a =$ ， $b =$ ．

(3)、如果要使 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等，那么点 $D$ 的坐标是．

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17、解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：

(1)、 $2 x - 11 \geq 4 (x - 3) + 3$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 > 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{array}$ ．

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18、将点 $P (- 3, - 1)$ 向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点 $Q (x, y)$ ，则平移后点 $Q$ 的坐标．

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19、下列命题中，是假命题的是（　　）

A、直角三角形的两个锐角互余 B、全等三角形的对应边相等 C、两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D、对顶角相等

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20、如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 $A B$ 与桥长 $C D$ 均为24米，桥拱顶部 $O$ 离水面的距离为8米，以桥拱顶部 $O$ 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

(1)、求圆弧型桥拱所在圆的半径；

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 $C G$ ， $O H$ ， $D I$ ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 $y$ 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．

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