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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{4 a} + \frac{3 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、1

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2、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x |a - 1 \leq x \leq a + 2\}$ ，若集合 $A \cap B$ 中恰好只有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$ C、 $(- 2, - 1]\cup[3, 4)$ D、 $(- 2, - 1) \cup (3, 4)$

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3、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = {x | - 1 < x < 5, x \in N}$ ，则满足 $A \subseteq C$ $⫋ B$ 的集合 $C$ 的个数为（）

A、4 B、7 C、8 D、15

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4、如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合 $A \otimes B$ 为阴影部分表示的集合.若集合 $A = [0, 2]$ ，集合 $B = {x | x > 1}$ ，则集合 $A \otimes B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x \leq 1$ 或 $x \geq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1$ 或 $x > 2}$

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5、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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7、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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8、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $C^{'} D^{'} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A^{'} D^{'} = 2 \sqrt{2}$ B、 $A B = 4$ C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ D、四边形 $A B C D$ 的周长为 $6 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$

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10、若复数z满足 $z (3 + 4 i) = 25$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} ， x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、设 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < 4 π$ ，曲线y= $x f (x)$ 在点 $（ x_{i} ， sin x_{i} ）$ （ $i = 1 ， 2 ， 3$ ）处切线均经过坐标原点.
（i）求 $\frac{tan x_{3} - x_{2}}{x_{3} - tan x_{2}}$ ；
（ii）求证： $tan x_{1} + tan x_{3} < 2 tan x_{2}$ ；

(2)、将 $f (x)$ 的极小值点从小到大排列，形成的数列记为 $\{x_{n}\} ， n \in N$ ，首项记为 $x_{0}$ .
（i）求证： $x_{n} \in (π + 2 n π ， \frac{3}{2} π + 2 n π) ， n \in N ，且 \{x_{n} - 2 n π\}$ 是单调递增数列；
（ii）求 $f (x)$ 的最小值.

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12、平面直角坐标系中，点 $(\sqrt{6}, 1)$ 在以 $F_{1}, F_{2}$ 为左，右焦点的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若不过 $F_{1}$ 的直线l与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ；
（i）设l的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，若 $k$ 为直线 $A F_{1}, B F_{1}$ 斜率的等差中项，求 $F_{2}$ 到l的距离 $d$ 的取值范围；
（ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求 $\frac{|A D|}{|B D|}$ 的最大值.

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13、已知 $△ A B C$ 满足三个条件：① $|A B| = 1$ ， ② $2 sin A = 2 sin B + cos 2 B$ ， ③________________.

(1)、若条件③是“ $△ A B C$ 是直角三角形”，求 $A$ ；

(2)、从下列选项中选择一个作为条件③，使满足条件的 $△ A B C$ 恰好有2个，并说明你的选择理由.
Ⅰ. $B = \frac{π}{5}$ ， Ⅱ. $B = \frac{2 π}{5} ，$ Ⅲ. $△ A B C$ 是等腰三角形.

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14、如图，棱长为 $3$ 的正方体的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，三条棱 $A B ， A C ， A D$ 都在平面 $α$ 的同侧.

(1)、若平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成的二面角为 $30^{\circ}$ ，求顶点 $D$ 到平面 $α$ 的距离的最大值；

(2)、若顶点 $B ， C$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{3}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成锐二面角的余弦值.

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15、已知 $x, y, z \in N^{*}$ ，且 $x + y + z = 7$ ，记随机变量 $X$ 为 $x, y, z$ 中的最小值，则 $D (X) =$ .

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + 1) - f (x - 1) \geq x$ 且 $f (x + 3) - f (x - 3) \leq 3 x$ .若 $f (1) = 1$ ，则 $f (49) =$ .

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17、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 焦点为 $F$ ，过 $F$ 向第一象限作射线 $F A$ ，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，切点为 $B$ ，且 $∠ F A B = 135 °$ ，则点 $A$ 的轨迹是的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.

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18、（多选题）已知 $△ A B C$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $R t △ A C D$ 和 $R t △ B C D$ ）组成的三角形，如下图所示，其中 $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ .现将 $R t △ A C D$ 沿斜边 $A C$ 进行翻折成 $△ D_{1} A C$ （ $D_{1}$ 不在平面 $A B C$ 上）.若 $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则在 $△ A C D$ 翻折过程中，下列命题中正确的是（）

A、在线段 $B D$ 上存在一定点 $E$ ，使得 $A D_{1} / /$ 平面 $M N E$ B、存在某个位置，使得直线 $A D_{1} ⊥$ 平面 $B C D_{1}$ C、存在某个位置，使得直线 $A D_{1}$ 与 $D M$ 所成角为 $60 °$ D、对于任意位置，二面角 $D_{1} - B C - A$ 始终不小于直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角

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19、在平面直角坐标系中，曲线 $Γ$ 的方程为： $x^{2} y = x + y - y^{2}$ ，试判断下列说法中正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 与直线： $y = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 没有交点 B、存在垂直于x轴的直线与曲线 $Γ$ 没有交点 C、曲线 $Γ$ 与直线： $x + y + 3 = 0$ 有两个交点 D、曲线 $Γ$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = x + y$ 有三个交点

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20、随机事件A，B满足 $P (B) < P (A) < 1 ， P (A B) + P (A + B) = 1 ， P (\bar{A} B + \bar{B} A) = \sqrt{P^{2} (A) + P^{2} (B)} = \frac{5}{7}$ ，其中 $P (A) 和 P (B)$ 分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A)$ = $\frac{3}{7}$ B、 $P (A B)$ = $\frac{1}{7}$ C、事件A与B不独立 D、 $P (B | A) = P (A + B)$

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