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相关试卷

1、已知 $\cos (\frac{π}{4} - x) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} x + \sin 2 x}{\tan x + 1} =$ .

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2、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ .当 $∠ A O P$ 取最大值时， $|O P| =$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos B} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{2 a}{b}$ ， $\sin A \sin C = \frac{9}{2 b^{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $D$ 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{B O} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ， $c = 2$ ，则 $λ = \frac{1}{6}$

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4、下列说法正确的是（）

A、数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B、若随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $E (X) = 4$ ，则 $D (X) = \frac{4}{3}$ C、某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D、一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 $\frac{16}{33}$

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5、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论成立的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、 $|A F_{1}| \cdot |A F_{2}| \leq 4$ C、 $|A B|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、存在直线 $l$ ，使得 $A B ⊥ A F_{2}$

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6、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln (e^{2 x} + 1), x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，则 $g (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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8、已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ .若 $△ M B C$ ， $△ M C A$ 和 $△ M A B$ 的面积分别为1， $x$ ， $y$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} + \frac{x}{y}$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3} + 2$ B、9 C、15 D、20

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x + \frac{2 π}{3}) = f (x)$ B、 $f (x + \frac{2 π}{9}) = f (\frac{2 π}{9} - x)$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{18}, 0)$ 中心对称

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10、清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、64种 D、72种

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11、在平行四边形ABCD中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 2$ B、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、复数 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、将复数 $z$ 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ ，所得向量对应的复数为 $\sqrt{2} i$

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13、已知集合 $A = \{x| x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (2 - x)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $(- \infty, 3]$

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14、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 是边 $B C$ 的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ 且 $∠ A D B = \frac{π}{3}$ ，求 $sin B$ 的值；

(3)、若 $B C = 4$ ，求 $\cos ∠ B A C$ 的取值范围.

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15、某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形 $A B C D$ 区域中，将 $△ A B D$ 区域设立成烧烤区， $△ B C D$ 区域设立成花卉观赏区，边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 修建观赏步道，边 $B D$ 修建隔离防护栏，其中 $A B = 200$ 米， $A D = 400$ 米， $C = \frac{π}{3}$ .烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域.

(1)、需要修建多长的隔离防护栏？

(2)、若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？

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16、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan (α - β) = - 8 - 5 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $2 α - β$ 的值.

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, 1), \vec{c} = (1, - 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $(x \vec{a} + y \vec{b}) / / \vec{c}$ ，且 $x, y$ 为非零实数，求 $\frac{x}{y}$ 的值.

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18、在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} B + 2 \sin^{2} A - \sin^{2} C = 0$ ，若 $\tan B = x \tan C$ ，则实数 $x$ 的值为.

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19、 $E$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的点， $\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C} = 3 \vec{B E}$ ，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

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20、下列说法正确的有（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、已知 $\vec{e_{1}} \vec{e_{2}}$ 不共线，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 与向量 $\vec{n} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 共线，则实数 $k = \frac{1}{2}$ C、设 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (6, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $t$ 的取值范围为 $(- 4, 9) \cup (9, + \infty)$ D、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{7}{6} \vec{b}$

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