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相关试卷

1、设集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}, B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{1, 3, 5\}$ C、 $\{7, 9\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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2、某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $O$ 为圆心的半圆及直径 $A B$ 围成．在此区域内原有一个以 $O A$ 为直径、 $C$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $C O P Q$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 分别在半圆 $O$ 与半圆 $C$ 的圆弧上，且 $P Q$ 与半圆 $C$ 相切于点 $Q$ ．已知 $A B$ 长为40米，设 $∠ B O P$ 为 $2 θ$ ．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形 $C O P Q$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的表达式；
（2）要使改建成的展示区 $C O P Q$ 的面积最大，求 $\sin θ$ 的值．

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3、根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $t$ ； $y$ 表示全国GDP总量，表中 $z_{i} = \ln y_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ， $\bar{z} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} z_{i}$ .
$\bar{t}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
（1）根据数据及统计图表，判断 $\hat{y} = b t + a$ 与 $\hat{y} = c e^{d t}$ （其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量 $y$ 关于 $t$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出 $y$ 关于 $t$ 的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据：
$n$
4
5
6
7
8
$e^{n}$ 的近似值
55
148
403
1097
2981

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{2} + \frac{1}{2^{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
（1）求证：数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 是等差数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 和通项 $a_{n}$ 满足 $2 S_{n} + a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 3 a_{1}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + 1$ $(n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为．

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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8、在声学中，声强级 $L$ （单位： $dB$ ）由公式 $L = 101 g (\frac{I}{10^{- 12}})$ 给出，其中 $I$ 为声强（单位： ${W/m}^{2}$ ）. $L_{1} = 60 dB$ ， $L_{2} = 75 dB$ ，那么 $\frac{I_{1}}{I_{2}} =$ （）

A、 $10^{\frac{4}{5}}$ B、 $10^{- \frac{4}{5}}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $10^{- \frac{3}{2}}$

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9、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是（）

A、74 B、121 C、 $- 74$ D、 $- 121$

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10、要得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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11、已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ \begin{matrix} y \geq 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{13}}{39}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{39}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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13、已知正实数构成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$

(1)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $P$ .
①当 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ 时，判断集合 $A$ ， $B$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；
②设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} > 0$ 且公比为2，判断集合 $A$ 是否具有性质 $P$ 并说明理由.

(2)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A, 且 i \neq j\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $Ω$ .设集合 $A$ 具有性质 $Ω$ 且 $A + A$ 中的所有元素能构成等差数列.问：集合 $A$ 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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14、已知 $x = 2$ 为函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2} - \frac{1}{e}$ 的极小值点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{k x}{e^{x}}$ ，若对 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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15、已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，将射线 $O A$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后于单位圆 $O$ 交于点 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $f (α) = x_{1} - x_{2}$ ， $g (α) = x_{1} \cdot x_{2}$ .

(1)、若 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (α)$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，当函数 $F (α) = g (α) + m f (α) - \frac{m^{2}}{2}$ 的最大值是 $- \frac{15}{2}$ 时，求 $m$ 的值.

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，分别以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \sqrt{3}$ ， $sin B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $sin A sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$

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17、记 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} - 2$ ， $a_{3} - 4$ ， $a_{4} - 6$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是以 $a$ 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数 $t$ ，使得数列 ${\sqrt{S_{n} + t}}$ 也成等差数列，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的夹角为.

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20、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω$ 的值为.

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$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

$n$	4	5	6	7	8
$e^{n}$ 的近似值	55	148	403	1097	2981