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相关试卷

1、国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从 $2000$ 年开始，每 $3$ 年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是 $40$ 至 $100$ 分，如图是 $2024$ 年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（）

A、该地学生成绩的中位数一定大于 $75$ B、该地学生成绩的平均数一定小于 $65$ C、该地学生成绩的极差介于 $40$ 至 $60$ 之间 D、该地学生成绩没有超过 $60$ 分的学生所占比例为 $30 %$

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2、平面上的三个力 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ 作用于同一点，且处于平衡状态.已知 $\vec{F_{1}} = (1, 0)$ ， $|\vec{F_{2}}| = 2$ ， $⟨\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}⟩ = 120^{\circ}$ ，则 $|\vec{F_{3}}| =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3、若 $(z - i^{2024}) i = i^{5} + i^{6}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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4、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + 1}{e^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、设函数 $g (x) = \ln x + \sin x$ ，
①证明： $y = g (x)$ 有且只有一个零点；
②记函数 $y = g (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $f (2 \sin x_{0}) > \frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$ ．

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5、人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $A, B$ 之间的余弦距离为 $1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

(1)、若 $A (2, - 1)$ ， $B (1, - 2)$ ，求 $A, B$ 之间的余弦距离；

(2)、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (\sin α, \cos α)$ ， $N (\sin β, \cos β)$ ， $Q (\sin β, - \cos β)$ ，若 $\cos (M, N) = \frac{1}{2}$ ， $\cos (M, Q) = \frac{1}{3}$ ，
①求 $N, Q$ 之间的余弦距离；
②求 $\tan α \tan β$ 的值．

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6、已知椭圆 $Γ$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，椭圆 $Γ$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.

(1)、若椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，左顶点为 $A$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列， $a_{1}, a_{2}, a_{3} - 12$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的余弦值．

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9、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x^{2} + x y - y^{2} = 1$ ，则 $\frac{x - y}{5 x^{2} - y^{2}}$ 的最大值为.

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10、已知函数 $f (x) = \sin (π x + φ) (| φ | < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{6}, 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2, a]$ 内有4个零点，则a的取值范围为．

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域是 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (x + 3) + 1$ 的值域是.

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12、事件 $A$ 、 $B$ 互斥，若 $P (A) = 0.2$ ， $P (A \cup B) = 0.6$ ，则 $P (B) =$ .

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13、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ B、 $B_{1} F$ 与 $A_{1} B$ 不可能垂直 C、直线 $B F$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角正弦值的最小值为 $\frac{4}{9}$ D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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14、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a < b < 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$

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15、已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x^{2} - 2 x - m$ 的解集中有且仅有 $2$ 个整数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $[- 2, 0)$ D、 $(- 2, 0)$

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16、已知 $θ \in \{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, π\}$ ，现将函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ 的图象向右平移 $θ$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若存在 $ω > 0$ ，使得函数 $y = \tan ω x$ 与 $g (x)$ 图象的对称中心完全相同，则满足题意的 $θ$ 的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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17、如图 $A, B$ 两点在河的同侧，且 $A$ 、 $B$ 两点均不可到达．现需测 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，测量者在河对岸选定两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 200 m$ ，同时在 $C$ 、 $D$ 两点分别测得 $∠ A C D = ∠ A D C = 60 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、 $200 m$ C、 $100 \sqrt{10} m$ D、 $400 m$

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18、已知 $a > 1$ ，且 ${log}_{a} 8 \times {log}_{a} 2 = 1 - {log}_{a} 4$ ，则 $a =$ （）

A、2或8 B、 $\frac{1}{2}$ 或8 C、8 D、64

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19、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | 3 < x < 4}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, - \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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20、甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{5}$ ，则恰有一人成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{2}{5}$

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