浙江省舟山市2024-2025学年高二下学期6月期末检测数学试题

试卷更新日期：2025-06-29 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = \{x |0 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 4)$ D、 $[0, 2)$

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2. 已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 3 i$ D、 $3 i$

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3. 已知 $tan (x + π) = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{1}{{cos}^{2} x} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $4$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中常数项为（）

A、48 B、 $- 48$ C、24 D、 $- 24$

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5. 若 $p : a = 2$ ， $q :$ 函数 $f (x) = (x + a - 2) (x^{2} + a - 1)$ 为 $R$ 上的奇函数，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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6. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（）

A、36 B、48 C、52 D、64

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7. 已知函数 $f (x) = 2 sin ω x \cdot cos ω x + 2 {sin}^{2} ω x (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{8}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{9}{4}, \frac{7}{3}]$

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8. 记函数 $m (x) = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{array}$ .已知函数 $f (x) = - x^{3} - t x + e^{2} - t$ ， $g (x) = e^{2 x} - t x - (t + 1)$ ， $t \in R$ ，若 $m (x)$ 有且只有 $3$ 个零点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e^{2} - 1}{2}, + \infty)$ B、 $[0, \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{e^{2} - 1}{2})$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、经验回归方程为 $\hat{y} = 0.1 - 0.7 x$ 时，变量 $x$ 与变量 $y$ 成正相关 B、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、若随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 3) = 0.3$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.2$ D、已知随机事件 $A$ 、 $B$ ，若 $P (A) = \frac{3}{7}$ ， $P (B |A) = \frac{8}{9}$ ，则 $P (A B) = \frac{8}{21}$

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f ({log}_{3} x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = 9^{x} - 4 \times 3^{x} + 3$ B、函数 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 2$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[{log}_{3} 2, + \infty)$ D、函数 $|f (x)|$ 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的最大值为 $4 \sqrt{3} - 6$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，以下说法正确的是（）

A、若点 $P$ 为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内部及边界上的动点，且满足 $D_{1} P = \sqrt{10}$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度是 $\frac{π}{2}$ B、若点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内部及边界上任意一点，则存在点 $P$ 使得点 $B$ ， $D_{1}$ 到平面 $P A C$ 的距离之和等于 $\frac{1}{2} B D_{1}$ C、若点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且 $B P ∥$ 面 $A C D_{1}$ ，则 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若点 $P$ 满足 $P A_{1}^{2} + P C_{1}^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ ，则动点 $P$ 构成的平面截三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 所得截面的面积为 $\frac{9}{2}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 有一组数据： $5$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $9$ 、 $8$ .则其第 $60$ 百分位数为.

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13. 命题“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} + ln x - 2 a \leq 0$ 为假命题”，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知实数 $m$ 、 $n$ 满足 $\frac{m^{2}}{8} - 2 n^{2} = 3$ ，则 $m^{2} + m n$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2} - a b$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，求线段 $C D$ 的长度.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 3$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（结果用 $\vec{b}$ 表示）；

(2)、求 $cos ⟨\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}⟩$ ；

(3)、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，求 $|\vec{c}|$ .

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17. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $C_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $Q$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点），底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A D = 4$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - B C - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ；
（ⅰ）求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角；
（ⅱ）若四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为等腰梯形， $C C_{1} = \sqrt{3}$ ，求平面 $Q A_{1} B_{1}$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正切值.

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18. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有 $\frac{3}{5}$ 的学生学过围棋，将频率视为概率.

(1)、从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、经过海选，最终决定 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 、 $Q_{4}$ 、 $Q_{5}$ 、 $Q_{6}$ 、 $Q_{7}$ 、 $Q_{8}$ 八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知 $Q_{2}$ ~ $Q_{8}$ 这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为 $\frac{1}{2}$ ， $Q_{1}$ 棋手与其他棋手对弈时， $Q_{1}$ 获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每局对弈结果相互独立，无和棋情况.
（ⅰ）求棋手 $Q_{2}$ 最终夺冠的概率；
（ⅱ）求棋手 $Q_{2}$ 与 $Q_{1}$ 有过对弈且最终 $Q_{2}$ 获得亚军的概率.

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19. 函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ；
①若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凹函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凹函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \leq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.
②若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，都有 $\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称 $y = f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数（当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时，等号成立），且凸函数有以下性质：对 $\forall x_{i} \in D (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都有 $\frac{1}{n} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})] \geq f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ （当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时，等号成立）.

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 在 $(0, π)$ 上是否具有凹凸性，并用上述定义法证明你的结论.

(2)、设 $L$ 为 $△ A B C$ 的周长， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积；
（i）求： $sin A + sin B + sin C$ 的取值范围；
（ii）证明： $L^{2} \geq 12 \sqrt{3} S$ .

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