四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题

试卷更新日期：2025-07-10 类型：期末考试

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一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + \sqrt{3} i$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（）

A、25 B、30 C、35 D、50

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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4. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，其底面 $A B C D$ 水平放置时的斜二测画法直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为平行四边形，如图所示，已知 $A^{'} B^{'} = C^{'} D^{'} = 3$ ， $A^{'} D^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、12

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5. 若点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $A B = \sqrt{6}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B O} + \vec{C B} \cdot \vec{B O} =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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6. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为a，b，c，且 $a : b : c = 5 : 7 : 8$ ，则此三角形的最大角与最小角之和为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 若将函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左或右平移 $φ$ 个单位，所得的图象与 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $φ$ 的最小正值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 已知圆锥 $P O$ 的侧面面积为 $\sqrt{15} π$ ，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆锥 $P O$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{25 π}{4}$ B、 $\frac{25 π}{2}$ C、 $25 π$ D、 $\frac{33 π}{2}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $△ A B C$ 中，点 $D (1, 2)$ ， $E (2, 0)$ ， $F (3, 2)$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E F} = (1, 2)$ B、 $\vec{C F} = (1, - 2)$ C、点A的坐标为 $(2, 4)$ D、 $△ A B F$ 的面积为4

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10. 某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（）

A、该组数据的极差是35 B、该组数据的中位数是136 C、该组数据的40%分位数是135 D、该组数据的平均数为139

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11. 记 $sin x + cos y = a$ ， $cos x + sin y = b$ ，则（）

A、 $a$ 的取值范围为 $[- 2, 2]$ B、若 $a = 0$ ，则 $b = 0$ C、 $a + b$ 的最小值为 $- 2 \sqrt{2}$ D、若 $a = \sqrt{3}$ ，则b的最大值为1

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 若复数 $z$ 满足 $|z + i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为．

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13. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为．

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14. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得 $B C = 20 m$ ， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则A，B两点间的距离为m．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，表示 $\vec{B E}$ ，并求 $|\vec{B E}|$ ；

(2)、若 $\vec{B F} = t \vec{B C}$ ， $\vec{A F} ⊥ \vec{B E}$ ，求实数 $t$ 的值．

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16. 某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求 $x$ 的值；

(2)、估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、设 $x \in (0, π)$ ，且 $\tan (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{2}$ ， $5 f (α) = 6 f (x)$ ，求 $x$ 的值．

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18. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 - b \cos C = c \cos B$ ．

(1)、求b；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $2 \vec{B D} = \vec{D A}$ ，求 $|\vec{C D}|$ 的取值范围.

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19. 如图1，图2，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A B$ 的中点．

(1)、图1中求证： $A C_{1} / /$ 平面 $M B_{1} C$ ；

(2)、图1中求二面角 $A_{1} - C M - A$ 的正切值；

(3)、图2中，已知 $A B = 2$ ， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $D_{1} N$ 上的动点，过 $M C$ 且与 $D P$ 垂直的截面 $α$ 与 $D P$ 交于点 $E$ ，求三棱锥 $P - M C E$ 的体积的最小值．

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