广东省肇庆市2025届高三高中毕业班第三次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-05-05 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1. 复数 $\frac{2 + i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{(x, y) |\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} \leq 1, x \in Z, y \in Z\}$ ，则A中元素的个数为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = \frac{1}{2} A B = 2$ ，则四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{56}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、56 D、 $28 \sqrt{2}$

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5. 若直线 $l : x + y - m = 0 (m > 0)$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长为 $\sqrt{2} m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 已知 $α$ 为锐角，且 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7. $P$ 是正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点， $A A_{1} = 2 A D = 4$ ，当直线 $A P$ 与正四棱柱六个面所成角的大小相等时， $A P$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y > 0$ 满足 $f (x y) < f (x) + f (y) + 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ .设 $m = f (e^{|x|})$ ， $n = f (|x| + 1)$ ，则（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m \geq n$ D、 $m \leq n$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位： $cm$ ）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B、基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C、基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D、基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80

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10. 已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (g (x))$ 为奇函数 B、 $g (f (x))$ 为偶函数 C、 $f (g (x))$ 在 $[0, π]$ 上仅有1个零点 D、 $g (f (x))$ 的最小正周期为 $π$

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11. 已知曲线 $C : \sqrt{|x|} + \sqrt{|y|} = 1$ ，一条不过原点的动直线 $l$ 与x，y轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 有4条对称轴 B、曲线 $C$ 形成封闭图形的面积大于 $4 - π$ C、当 $|A B| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，线段 $A B$ 中点的轨迹与曲线 $C$ 相切 D、当 $|O A| + |O B| = 1$ 时，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相切

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

12. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，若 $P (X \leq a) = 0.3$ ，则 $a =$ .

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13. 记双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，若直线 $3 x - y = 0$ 与 $C$ 有公共点，则离心率 $e$ 的取值范围为（请用区间表示）.

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14. 在平面直角坐标系中，两点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 的“曼哈顿距离”定义为 $||P Q|| =$ $|x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ .例如点 $P (1, 2), Q (- 2, - 1)$ 的“曼哈顿距离”为 $||P Q|| =$ $|1 - (- 2)| + |2 - (- 1)| = 6$ .已知点 $M$ 在直线 $y = e x + 1$ 上，点 $N$ 在函数 $y = ln x$ 的图象上，则 $|M N|$ 的最小值为， $||M N||$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.

15. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{cos B} = 8$ .

(1)、求 $a c$ ；

(2)、若 $b = 2 a cos A cos 2 C + 2 c cos C cos 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知A，B，C是椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上三个不同的点， $O$ 是坐标原点.

(1)、若 $A$ ， $C$ 是 $W$ 的左、右顶点，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围；

(2)、若点 $B$ 在第一象限，是否存在四边形 $O A B C$ 满足 $O B$ 是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由.

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17. 如图， $△ A B C$ ， $△ D B C$ ， $△ E B C$ 都是等边三角形，点D，E分别在平面 $A B C$ 的上方和下方，点 $O$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证：A，D，O，E四点共面；

(2)、若 $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $O E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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18. 一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位.记质点原地不动的概率为 $p$ ，向右运动的概率为 $q$ ，向左运动的概率为 $1 - p - q$ ，其中 $p \in [0, 1)$ ， $q \in (0, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{6}$ ， $q = \frac{1}{2}$ ，求质点运动3次后停在原点右侧的概率；

(2)、若 $p = 0$ .
①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右侧的概率；
②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率 $q = x$ ，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束；第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率 $q = a - x$ $(0 < a < 2)$ ，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）.记两轮游戏最终得分的期望 $E (X) = f (x)$ ，若 $f (x)$ 存在极大值点，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中每一项 $a_{i} \in \{0, 1\}$ （其中 $i = 1, 2, \dots, m$ ， $m \in N^{*}$ ）构成 $m$ 数组 $A =$ $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m})$ .定义运算 $S$ 如下： $S (A) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots, b_{2 m - 1}, b_{2 m})$ ，其中当 $a_{i} = 0$ 时， $b_{2 i - 1} = 1$ ， $b_{2 i} = 0$ ；当 $a_{i} = 1$ 时， $b_{2 i - 1} = 0$ ， $b_{2 i} = 1 (i = 1, 2, \dots, m)$ ；用 $S^{n} (A)$ 表示 $n$ 层嵌套运算 $S (S (\dots S (A) \dots))$ ， $n \in N^{*}$ .现取 $A = (0, 1)$ ，记 $S^{n} (A)$ 中相邻两项组成的数对 $(a_{i}, a_{i + 1})$ 满足 $a_{i} = a_{i + 1} = 1$ 的数对个数为 $B_{n}$ .

(1)、写出 $S (A)$ ， $S^{2} (A)$ ，以及 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ；

(2)、证明：数列 $\{B_{n + 2} - B_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、若 $C_{n} = 3 (B_{n} + \frac{1}{2})$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \frac{1}{C_{4}} + \dots + \frac{1}{C_{n}} < \frac{7}{6}$ .

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