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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x + a x + 2 (a < 0)$ ，若 $f (x)$ 的最大值为 $2.$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \leq b x$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求b的取值范围.

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2、在直角梯形 $P B C D$ 中， $∠ D = ∠ C = \frac{π}{2}$ ， $B C = C D = 2$ ， $P D = 4$ ， $A$ 为 $P D$ 的中点，如图，将 $△ P A B$ 沿 $A B$ 折到 $△ S A B$ 的位置，使 $S B ⊥ B C$ ，点 $E$ 在 $S D$ 上，且 $\overset{⃑}{S E} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{S D}$ ，如图．
（1）求证： $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求二面角 $E - A C - D$ 的正切值．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 9, a_{8} = 29$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的表达式；
（2）记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ 的值．

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4、在 $Δ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + c \sin B$ .
（1）求 $B$ ；
（2）若 $c = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 2 \sqrt{5}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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5、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种．

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6、若 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a_{3} = - 4$ B、 $S_{5} = - 64$ C、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 D、 $\{S_{n} - 1\}$ 是等比数列

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7、对于 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式，下列说法错误的是（）

A、展开式共有 $6$ 项 B、展开式中的常数项是 $- 240$ C、展开式的二项式系数之和为 $64$ D、展开式的各项系数之和为 $2$

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8、（多选）下列函数中，在区间 $(1, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = x e^{x}$ C、 $y = x^{3} - x$ D、 $y = \ln x - x$

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，下列结论中错误的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的值域为R C、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ D、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, x_{0})$ 单调递减

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10、已知随机变量 $X ~ B (2, p)$ ， Y服从两点分布，若 $P (X \geq 1) = 0.64$ ， $P (Y = 1) = p$ ，则 $P (Y = 0) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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11、5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（　　）

A、36 B、60 C、72 D、48

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12、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x + \cos x)}^{'} = \cos x + \sin x$ B、 ${(x \ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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13、计算 $\frac{4 A_{8}^{4} + 2 A_{8}^{5}}{A_{8}^{8} - A_{9}^{5}}$ 的值是（）

A、1 B、0.6 C、0.8 D、1.2

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14、随机变量 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
$- 1$
1
3
P
m
$\frac{1}{3}$
$2 m - 1$
则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{5}{12}$

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，若将 $f (x)$ 的图象上每个点先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，所得的函数 $g (x)$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x_{1} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，总存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ ，使不等式 ${[f (x_{1})]}^{2} - (4 + m) f (x_{1}) + 2 m + 6 \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = 2 f (x) + 1$ 的图象在区间 $[a, b] (a, b \in R, a < b)$ 上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间 $[a, b]$ 上，求 $b - a$ 的最小值．

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16、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $\cos 2 α = - \frac{47}{49}$ ， ③ $\frac{1 - \cos α}{\sin α} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 .

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $0 < β < α < \frac{π}{2}, \sin (α - β) = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $β$ .
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1 (x \in R)$ .

(1)、将函数化简为 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的形式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间.

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19、如图， $G$ 是 $△ O A B$ 的重心， $P, Q$ 分别是边 $O A$ ， $O B$ 上的动点，且 $P, G, Q$ 三点共线．设 $\vec{O P} = x \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = y \vec{O B}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

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20、正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上任意一点， $\vec{A P} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{3}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\vec{A P} \cdot \vec{A E}$ 最大值是 $\frac{2 \sqrt{10}}{3} + 2$ D、 $|\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{A D}|$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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$ξ$	$- 1$	1	3
P	m	$\frac{1}{3}$	$2 m - 1$