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相关试卷

1、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A_{1} A = ∠ C_{1} A_{1} A = 60^{0}, A A_{1} = A C = 4$ ， $A B = 2$ ， $P, Q$ 分别为棱 $A A_{1}, A C$ 的中点.
（1）在平面 $A B C$ 内过点 $A$ 作 $A M / /$ 平面 $P Q B_{1}$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $P Q B_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{5} = 20$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{4} + b_{4} = 9$ ，且公比为q，从① $q = 2$ ；② $q = \frac{1}{2}$ ；③ $q = - 1$ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\frac{\tan A \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{1}{2}, c = \sqrt{3}, C = \frac{π}{3}$ ，则 $a b$ 的值为．

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4、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为9，那么点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为．

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5、设 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 是函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 的三个零点，则（）

A、 $x_{1} < 0$ B、 $a < \frac{e^{2}}{4}$ C、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $- x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等比数列 D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $x_{3} - x_{1} = 4 \ln (1 + \sqrt{2})$

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6、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}, C D$ 的中点，则（）

A、 $A E ⊥ B D$ B、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B B_{1} F$ C、 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ D、 $B E // D C_{1}$

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7、已知点 $A_{i} (x_{i}, 0) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 与点 $B_{i} (y_{i}, 10) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 关于点 $(3, 5)$ 对称，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $c$ ，极差为 $d$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{10}$ 这组数满足（）

A、平均数为 $3 - a$ B、中位数为 $6 - b$ C、方差为 $c$ D、极差为 $d$

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8、如图，直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象的三个相邻的交点为 $A, B, C$ 三点，且 $|A B| = π, |B C| = 2 π$ ，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9、若多项式 $x^{2} + x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + ... + a_{9} {(x + 1)}^{9} + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、9 B、10 C、-9 D、-10

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10、数集 $X = {(2 n + 1) π, n$ 是整数 $}$ 与数集 $Y = {(4 k \pm 1) π, k$ 是整数 $}$ 之间的关系是（）

A、 $X \subset Y$ B、 $X \supset Y$ C、 $X = Y$ D、 $X \neq Y$

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11、如图，在Rt $△ P O B$ 中， $∠ P B O = 90 °$ ，以 $O$ 为圆心、 $O B$ 为半径作圆弧交 $O P$ 于 $A$ 点，若圆弧 $A B$ 分 $△ P O B$ 的面积为 $1 : 2$ (扇形部分是2份)，且 $∠ A O B = α$ 弧度，则 $\frac{α}{\tan α} =$ ．

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12、 $\sin (- \frac{π}{6}) - \tan 495^{\circ} =$ .

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13、已知 $a > 0, b > 0$ ，函数 $f (x) = (x - a - b) ln (x - a b + 4)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、 $a b$ 的最小值为8； B、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2； C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$ ； D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{3} x| ， 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + \frac{23}{2} ， x > 3 \end{cases}$ ，若 $a < b < c < d$ ， $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $a b (c + d) =$ （）

A、25 B、20 C、10 D、5

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P为椭圆上一点， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线 $l : x = m y - 2$ 与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线 $B C$ 过定点；

(3)、若曲线 $y = t e^{x} (t > 0)$ 与椭圆交于M，N两点，直线 $M N$ 的斜率为k，证明： $0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（参考公式： $\forall x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $e^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} < \frac{e^{x_{1}} - e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < \frac{e^{x_{1}} + e^{x_{2}}}{2}$ 成立）

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - m \sin x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上恰有2个零点，求m的取值范围；

(3)、若 $m > 0, n < 0, g (x) = f (x) + n x + \sqrt{2} m$ ， $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的极值点，求证： $g (x_{0}) + n \ln 2 \geq n \ln (- n)$ ．

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17、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - k n, a_{5} = 7$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $b_{1} = a_{2}, b_{4} (a_{2} + a_{5}) = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求满足 $T_{n} > \frac{63}{32}$ 的最小的正整数 $n$ 的值.

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18、12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组： $[20, 40)$ ， $[40, 60)$ ， $[60, 80)$ ， $[80, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)、若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

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19、山城小汤圆是传统小吃的代表之一，以糯米为皮，常用红豆、豆沙、芝麻等馅料，一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个，其中红豆、豆沙汤圆各 3 个，芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆，在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为.

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20、已知实数 $a, b$ 满足 $a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1$ ，若 $a^{b} = b^{a}$ ，且 $\frac{a}{b} + \frac{\ln a}{\ln b} = 6$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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