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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 22, S_{7} = S_{16}$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、12 B、12或11 C、11或10 D、10

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2、下列命题错误的是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 $1$ B、设 $ξ \sim N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ C、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ D、随机变量 $ξ \sim B (n ， p)$ ，若 $E (ξ) = 30 ， D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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3、已知球的表面积为 $144 {πcm}^{2}$ ，则该球的体积是（）cm³

A、64π B、144π C、288π D、216π

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4、已知 $a = \log_{0.2} 2$ ， $b = {0.3}^{2}$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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5、已知全集 $U = \{x \in N^{*} |1 \leq x \leq 6\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 5\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 6\}$ B、 $\{2, 6\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 6\}$

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6、马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $D$ 为棚顶， $O$ 是棚底地面的中心， $A E$ 为棚底直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $D O = 18$ 米，从支柱上的 $P$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $P A 、 P B 、 P C 、 P E$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $E$ 点沿着绳子 $P E$ 爬到 $P$ 点，再沿着 $P D$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $P A 、 P B 、 P C$ 中的某一根绳子上.

(1)、当 $P$ 点取在距离 $O$ 点 $3 \sqrt{6}$ 米处时，证明拉绳 $P A$ 所在直线和平面 $P B C$ 垂直；

(2)、经验表明当拉绳 $P E$ 所在直线和平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $P$ 点取在什么位置.

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7、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $E (\sqrt{2} ， 0), F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，则满足 $| P F | = \sqrt{2} | P E |$ 的动点P的轨迹记为圆 $D$ .

(1)、求圆 $D$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $C (4, - 2)$ 三点，点 $P$ 在圆 $D$ 上运动，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值与最小值之差.

(3)、直线 $y = k (x + 1)$ 与圆 $D$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $k_{M Q} + k_{N Q} = 0$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由；

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8、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D // B C$ ， $A F // B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ .

(1)、已知点G为 $A F$ 上一点， $A G = A D$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知点F到平面 $D C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $F D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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9、空间直角坐标系中，分别以 $\vec{a} = (3, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3, 1)$ 为邻边作一个平行四边形.

(1)、分别求这个平行四边形两条对角线的长；

(2)、求这个平行四边形的面积.

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10、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点Q为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ．以 $P Q$ 为直径的圆的圆心为点 $Q^{'}$ ，设圆Q与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 左边），则直线PA，PB的方程分别为，．

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11、如图，在四面体ABCD中， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，若 $A B = 3$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，则平面ABD与平面CBD的夹角为．

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12、已知直线 $l : m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 恒有两个不同的公共点 $A, B$ ，则下列叙述正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ C、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ D、当 $r = 4$ 时，圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离为2的点恰好有三个，则 $m = \frac{3}{4}$

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13、如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上．由椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ ．已知 $B F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|F_{1} B| = \frac{5}{3}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ．若透明窗 $D E$ 所在的直线与截口 $B A C$ 所在的椭圆交于一点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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14、由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 y$ 围成的图形的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π + 3$ D、 $3 π + 2$

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15、如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且 $|A B| = 2$ ， P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）

A、圆 B、射线 C、长轴为4的椭圆 D、长轴为2的椭圆

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16、四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， $\vec{B Q} = \vec{Q C}$ ，则 $\vec{P Q}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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17、已知函数 $f (x - 1) = \frac{x^{2} - 2 x + a}{x - 1}$ ，且 $f (- 1) = - 2.$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最值．

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x$

(1)、求 $f (- 1)$ ， $f (f (0))$ ；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 2, 2]$ 上的最大值与最小值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 上的最大值为4，求实数 $a$ 的值．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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20、函数 $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}} + \frac{1}{|x + 1|}$ 的定义域是.

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