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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin C - c sin A cos B - \sqrt{3} b sin A sin C = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3, b = 7$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求线段 $B D$ 的长．

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2、为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： $[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75, 80), [80, 85), [85, 90)$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求这100户居民问卷评分的中位数；

(3)、若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在 $[65, 70)$ 和 $[70, 75)$ 内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在 $[65, 70)$ 内的概率．

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3、中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2， $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 $90 °$ ，则图中平面 $A_{1} C D_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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4、若直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{n} = (3, - \sqrt{3})$ ，则 $l$ 的倾斜角大小为．

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5、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、三棱锥 $B - A D P$ 的外接球的表面积为 $\frac{9 π}{4}$ C、直线 $D P$ 与直线 $A C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么 $Q$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，点 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆两焦点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，过点 $P$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线 $l$ ，过椭圆的焦点作直线 $l$ 的垂线，垂足是 $Q$ .现有一条长度为4的线段 $M N$ 在直线 $m : x - y + 4 = 0$ 上运动，且始终满足 $∠ M Q N$ 为锐角，则（）

A、点 $Q$ 的轨迹方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、点 $Q$ 有可能在以 $M N$ 为直径的圆上 C、点 $Q$ 不可能在直线 $m$ 上 D、线段 $M N$ 的中点的纵坐标的取值范围是 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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7、已知甲组数据为： $2, 3, 4, 4, 6, 8, 8$ ，乙组数据为： $1, 4, 4, 7, 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、这两组数据的第80百分位数相等 B、这两组数据的极差相等 C、这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变 D、甲组数据比乙组数据分散

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8、八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\vec{O A}| = 1$ 给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $|\vec{O A} - \vec{O C} |= \sqrt{2}| \vec{D H}|$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O D}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{e}$ （其中 $\vec{e}$ 为与 $\vec{O D}$ 同向的单位向量）

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9、当圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 截直线 $l : m x - 3 y - m + 9 = 0$ 所得的弦长最短时，实数 $m =$ （）

A、－1 B、 $- \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10、已知 $a > 0, b > 0$ ，两直线 $l_{1} : (a - 1) x - 2 y - 1 = 0, l_{2} : x - 3 b y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、12 B、20 C、26 D、32

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11、已知复数 $z$ 满足 $2 \bar{z} - z = 3 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 + 2 i$ D、 $- 3 - 2 i$

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12、已知平面 $α$ ， $β$ ，直线 $m$ ，且 $α ⊥ β$ ，则“ $m ⊥ α$ ”是“ $m$ ∥ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 6, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2, 6, - 3)$ B、 $(- 2, - 6, - 3)$ C、 $(2, 6, - 3)$ D、 $(2, 6, 3)$

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14、人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 $3$ 种.设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则欧几里得距离 $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ；曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos (A, B)$ ，其中 $\cos (A, B) = \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、若 $A (1, 2), B (3, 4)$ ，求 $A, B$ 之间的曼哈顿距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $M (3, 0), d (M, N) = 2$ ，求 $e (M, N)$ 的最大值；

(3)、已知点 $P$ ， $Q$ 是直线 $l : y - 1 = k (x - 1)$ 上的两动点，问是否存在直线 $l$ 使得 $d {(O, P)}_{\min} = D {(O, Q)}_{\min}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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15、已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $P Q$ 交椭圆 $C$ 于P，Q两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记以 $O P, O Q$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, △ O P Q$ 的面积为S，求 $S (S_{1} + S_{2})$ 的最大值.

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16、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = 2, D D_{1} = 4$ ，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 3 P C$ .

(1)、求三棱锥 $V_{P - B C D}$ 的体积；

(2)、直线 $A_{1} P$ 与平面PBD所成角的正弦值.

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17、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 经过点 $M (1, 1)$ 和点 $N (4, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = t y + 3$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{17}$ ，求实数 $t$ 的值.

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18、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (1, \frac{4}{k}, 2)$ 且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 互相平行，则实数 $k$ 的值.

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19、已知直线 $l : (2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 垂直，则 $m = \frac{1}{3}$ C、当点 $Q (3, 4)$ 到直线 $l$ 的距离取到最大时，此时 $m = \frac{4}{7}$ D、直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 16 = 0$ 所截得的最短弦长为1

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20、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上（含端点），则下列命题正确的是（）

A、 $M N$ 长的最小值为 $1$ B、三棱锥 $M - B N C$ 的体积为定值 C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、当点 $M$ 、 $N$ 为线段中点时，则 $△ M B N$ 为等腰三角形

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