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相关试卷

1、设函数 $f (x) = x^{2} - \ln x, g (x) = x - 1$ ，直线 $y = m$ 分别交函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象于点P，Q，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, m^{2} - 5)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{5}{2}$ C、-2或 $\frac{5}{2}$ D、2或 $- \frac{5}{2}$

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x + 1}, x < 2 \\ \log_{2} x, x \geq 2 \end{cases}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、4

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4、设各项为整数的等差数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 的公差 $d > 0$ ，首项 $a_{1} = 1$ ．已知从中能抽取 $k (k \geq 3)$ 个项并按原顺序排成公比为q的等比数列 $a_{m_{1}}$ ， $a_{m_{2}}$ ， …， $a_{m_{k}}$ ，其中 $m_{1} = 1$ ， $2 \leq m_{2} < m_{3} < \dots < m_{k} \leq n$ ．

(1)、若从等差数列1，3，5，…， $2 n - 1$ 中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求 $2 n - 1$ 的最小值；

(2)、求证： $n \geq 2^{k - 1}$ ；

(3)、请举出一个满足 $n = 2^{k - 1}$ 的例子．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x ln x + b (a, b \in R)$ ．

(1)、求证： $x = 1$ 不是函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ， $x \in (0,e]$ ，是否存在a，使得函数 $g (x)$ 的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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6、某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40

(1)、请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响；

(2)、根据B同学的列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，临界值 $x_{0.05} = 3.841$ ）

(3)、请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.

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7、 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $A D = B C$ ，连接 $C D$ ．若 $A = 100 °$ ，则 $∠ B C D$ 的大小为.

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8、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x - e^{x} \cdot f^{'} (1)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程是.

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9、 $A B$ 为圆O的一条弦，且 $|A B| = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O}$ 的值为.

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10、正方形 $A B C D$ 、 $A B E F$ 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点 $M$ 、 $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．则（）

A、直线 $A C$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ B、 $M N / /$ 平面 $D A F$ C、当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $M N$ 的长最小，且最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $M N$ 的长最小时，点 $F$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（）

A、 $P (X \leq 30) = 0.5$ B、 $P (Y \leq 40) = P (Y \geq 30)$ C、若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D、若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车

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12、设 $a, b, c \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $a = cos a$ ， $b = sin (cos b)$ ， $c = cos (sin c)$ ，则它们的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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13、一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）

A、7或 $- 5$ B、5或 $- 3$ C、3或 $- 3$ D、1或 $- 1$

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14、双曲线的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ 或 $2 \sqrt{5}$

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15、溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为 $pH = - lg [H^{+}]$ ，其中 $[H^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（）

A、已知纯净水的 $pH = 7$ ，则纯净水中 $[H^{+}] = 10^{7}$ 摩尔/升 B、已知胃酸中 $[H^{+}] = 2.5 \times 10^{- 2}$ 摩尔/升，则胃酸的 $pH \geq 2$ C、溶液中 $[H^{+}] > 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D、溶液中 $[H^{+}] < 10^{- 7}$ 摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大

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16、圆锥的表面积为 $π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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17、在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、实轴 B、虚轴 C、第二象限 D、第四象限

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18、已知点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ 的焦点，点 $G (- 2, 1)$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程与点F坐标：

(2)、过点 $(0, 3)$ 的直线，与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，一条垂直于 $x$ 轴的直线，分别与线段 $A B$ 和直线 $y = - 3$ 相交于 $P, Q$ 两点.
（i）若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，求证：直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线；
（ii）若直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线，过点 $Q$ 作直线 $A F$ 的垂线，垂足为 $H$ ，求 $|G H|$ 的最大值.

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19、如图.底面为平行四边形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, D C = C C_{1} = 4, B C = 2$ ，点 $M$ 为边 $D C$ 上的中点，点 $P$ 是空间一点.

(1)、证明： $C A_{1}$ $/ /$ 平面 $A M D_{1}$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $A M D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $cos ∠ B C D$ ；

(3)、若 $B C ⊥ C D$ ，直线 $P C ⊥$ 平面 $P A D_{1}$ ，则在平面 $A D_{1} M$ 内是否存在点 $Q$ ，使得 $P Q$ 的长为定值，若存在，指出点 $Q$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ .

(1)、直线 $l$ 过点 $(0, \frac{2}{3})$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切，求直线 $l$ 方程；

(2)、已知 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ 在导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象上，以点 $P_{n}$ 为圆心的 $⊙ P_{n}$ 与 $x$ 轴都相切，且 $⊙ P_{n}$ 与 $⊙ P_{n + 1}$ 彼此外切.若 $x_{1} = 1$ ，且 $0 < x_{n + 1} < x_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{x_{n} \cdot x_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项之和 $S_{n}$ .

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性别	身高		合计
性别	低于170cm	不低于170cm	合计
女	14	7	21
男	8	11	19
合计	22	18	40