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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， A是椭圆C的上顶点，直线 $A F_{1}$ 与椭圆相交于另一点B，若 $|B F_{2}| = \frac{3}{2} |A B|$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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2、若函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 2 \ln x$ 在 $(1, 2)$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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3、曲线 $y = e^{a x} + a x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 3 S_{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{2} = 9$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $2 \cdot 3^{19}$ B、 $3^{19}$ C、 $3^{20}$ D、 $2 \cdot 3^{18}$

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5、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则 $a =$ （）

A、9或1 B、3 C、2 D、1

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6、有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）

A、81 B、64 C、27 D、24

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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8、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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10、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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16、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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17、记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12, a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}} =$ （）

A、7 B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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18、已知有穷数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = \log_{a} x_{n} - \log_{a} e$ ，其中 $a > 1$ ，且最后一项 $x_{m} \leq 0 (m \geq 2)$ $.$

(1)、当 $a = e$ ，且 $m = 2$ 时，求 $x_{1}$ 的取值范围；

(2)、当 $a > e^{e^{- 2}}$ 时，如果 $m$ 足够大，
（i）证明：数列 $\{x_{n}\}$ 为单调递减数列；
（ii）探究数列 $\{x_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.

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19、如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 A^{'} B^{'} = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，且 $A N ⊥ B^{'} N$ $.$

(1)、证明： $A^{'} M / /$ 平面 $A B^{'} N$ ；

(2)、证明：平面 $A B^{'} N ⊥$ 平面 $A^{'} B M$ ；

(3)、若 $B^{'} B = C^{'} C = \sqrt{6}$ ，求平面 $A B^{'} N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正弦值.

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20、已知函数 $f (x) = \sin ω x - 2 \sin^{2} \frac{ω x}{2} + 1$ 其中实数 $ω > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点、两个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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