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相关试卷

1、若集合A={2，a+1}，且-1∈A，则a=.

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2、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 所在平面内有一点 $D$ 满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $C D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $∠ C D B = 120^{\circ}$ ，当 $\frac{A C}{B C}$ 取得最小值时，求 $B D$ 的值．

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3、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ ．

(1)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 可以是钝角三角形 B、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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5、如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（）

A、该水杯的侧面积为12π B、该水杯中牛奶的体积为 $\frac{19}{6} π$ C、该水杯中牛奶的体积为3π D、该水杯外接球的表面积为 $\frac{425}{16} π$

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6、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 满足 $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = 45 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ．由C点测得B点的仰角为 $15 °$ ， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100；由B点测得A点的仰角为 $45 °$ ，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、346 B、373 C、446 D、473

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7、已知 $P$ 是边长为2的正八边形 $A B C D E F G H$ 内的一点， $O$ 为其中心，则 $\vec{O E} \cdot \vec{A P} + \vec{O B} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 4, 4 + 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- 4, 4)$

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8、已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{6 \sqrt{2}}{7}$

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9、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点， $\vec{B C} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 是线段的 $D E$ 中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 4, b = 5, c = 6$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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11、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ，则这个平面图形的周长是（）

A、 $8 + 2 \sqrt{2}$ B、 $8 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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12、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， i为虚数单位，则复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x + b,$ 曲线y=f（x)在点（0， f（0))处的切线方程为y=-2x+1.

(1)、求a，b；

(2)、当x>0时，f（x+m)-f（x)>m，求m的取值范围；

(3)、当x>0时，f（x+k)+f（k-x)>2f（k)，求k的最小值.

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14、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a ＞ 1),$ 过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为 $\sqrt{2} .$

(1)、求E的离心率；

(2)、O为坐标原点，给定点 $G (t_{0}, 0) (t_{0} \neq 0) ； A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在E上，过点A作y轴的垂线，交 E于点 B，AO与GB交于点P.当A在E上运动时，P的轨迹为M.
（i)求M的方程；
（ii)M是否有中心点?当t₀为何值时，M有中心点?当M有中心点时，平移M到 M'，使O为M'的中心点，说明M'为何形状?

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15、在△ABC中，已知 $c o s B = \frac{3}{4}, {c o s}^{2} (A + C) + s i n A s i n C = 1 .$

(1)、证明： △ABC为钝角三角形；

(2)、若△ABC面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4},$ 求△ABC周长.

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16、三棱锥A-BCD中， E在BD上， AE⊥CE， AE⊥DE，CD⊥AD。

(1)、证明：CD⊥AB；

(2)、若DE =2，BE = 1，AE = $\sqrt{2}$ ， CD =2 $\sqrt{3}$ 求AD与平面ABC所成角的正弦值.

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17、某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天)，绘制成如下的频率分布直方图：

(1)、求第一四分位数和中位数；

(2)、 $\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365天的概率估计值.
（i)求 $\hat{p}$ ；
（ii)工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障小于365天的件数，则X ~B（100， $\hat{p}$ )，求 E（X)，D（X).

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18、若函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{2 - x} - m$ 有两个零点，则m的取值范围是.

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19、 S_n为等差数列{a_n}前n项和.若 $a_{1} = - 1, a_{4} = 5,$ 则 $S_{6} =$ .

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20、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x,$ 斜率k（k>0)的直线l过点（1，0)， △ABC为等边三角形， A在y轴上， B，C在l上，则（ )

A、抛物线准线方程为x =-2 B、l与y轴交点为（0，-k) C、若l与E相交于唯一点，则抛物线焦点在直线AB上 D、k=2时， △ABC面积最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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