甘肃省平凉市灵台县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题

试卷更新日期：2025-03-18 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数 $z$ 满足 $1 + i z = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点， $\vec{B C} = 4 \vec{E C}$ ，点 $F$ 是线段 $D E$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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5. 已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知实数 $a ， b$ 满足 $3^{a} = 4^{b}$ ，则下列不等式可能成立的是（）

A、 $b < a < 0$ B、 $2 b < a < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $0 < 2 b < a$

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7. 已知 $ω > 0$ ，曲线 $y = cos ω x$ 与 $y = cos (ω x - \frac{π}{3})$ 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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8. 定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(m x - 2) f (x - 2) \geq (n x + 3) f (2 - x)$ 的解集为 $[- 1, + \infty)$ ，则 $e^{m - 2 n} + e^{n + 1}$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{3}$ B、 $2 e^{2}$ C、 $2 e$ D、 $2 \sqrt{e}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（）

A、两组数据的平均数相等 B、第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C、两组数据的极差相等 D、第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数

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10. 已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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11. 如图，半径为1的动圆 $C$ 沿着圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 外侧无滑动地滚动一周，圆 $C$ 上的点 $P (a, b)$ 形成的外旋轮线 $Γ$ ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 重合．以下说法正确的有（）

A、曲线 $Γ$ 上存在到原点的距离超过 $2 \sqrt{3}$ 的点 B、点 $(1, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上 C、曲线 $Γ$ 与直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 有两个交点 D、 $|b| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $cos α sin(α - β) - sin α cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin β =$ ．

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13. 将 $1, 2, 3, \dots, 9$ 这9个数字填在 $3 \times 3$ 的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有种．

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14. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 3 \sqrt{2}, A B = 6$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部运动（包括边界），点 $D$ 到棱 $P A, P B, P C$ 的距离分别记为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 20$ ，则点 $D$ 运动路径的长度为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c = a (1 + 2 cos B)$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $a = 3 ， b = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，侧面 $P C D$ 是等边三角形，三棱锥 $A - P B D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $E$ 是棱 $C P$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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17. $n (n \in N^{*}, n \geq 3)$ 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n - 1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k (k \in N^{*})$ 次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_{n} (k)$ ，球在乙手中的概率记为 $B_{n} (k)$ ．

(1)、求 $A_{5} (2), B_{5} (2), A_{5} (3), B_{5} (3)$ ；

(2)、求 $A_{n} (k)$ ；

(3)、比较 $B_{n} (k + 1)$ 与 $\frac{n - 2}{n - 1} A_{n} (k)$ 的大小，并说明理由．

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18. 已知动点 $P$ 到点 $F (\frac{1}{2}, 0)$ 的距离等于它到直线 $x = - \frac{1}{2}$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，过点 $M (2, 0)$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $A O$ 与直线 $x = - 2$ 相交于点 $D$ ，过点 $B$ 且与 $C$ 相切的直线交 $x$ 轴于点 $E$ ．
（i）证明：直线 $D E // l$ ；
（ii）满足四边形 $A B D E$ 的面积为12的直线 $l$ 共有多少条？说明理由．

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19. 已知 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 3$ ，集合 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，其中 $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若存在函数 $f (x) (f (x) \neq x)$ ，其图象在区间 $D = [a_{1} ， a_{n}]$ 上是一段连续曲线，且 $\{f (a_{i}) ∣ a_{i} \in A_{n}\} = A_{n}$ ，则称 $f (x)$ 是 $A_{n}$ 的 $T$ 变换函数，集合 $A_{n}$ 是 $D$ 的 $T$ 子集．例如，设 $A_{5} = \{\frac{2}{3} ， 1 ， \sqrt{2} ， 2 ， 3\}$ ，此时函数 $f (x) = \frac{2}{x}$ 是 $A_{5}$ 的 $T$ 变换函数， $A_{5}$ 是 $[\frac{2}{3} ， 3]$ 的 $T$ 子集．

(1)、判断集合 $\{1 ， 2 ， 8 ， 9\}$ 是否是 $[1 ， 9]$ 的 $T$ 子集？说明理由；

(2)、判断 $f (x) = ln (1 + \frac{2}{e^{x}})$ 是否为集合 $A_{n}$ 的 $T$ 变换函数？说明理由；

(3)、若 $a_{i} < a_{j} (i ， j \in N^{*} ， 1 \leq i < j \leq n)$ ，则 $\frac{a_{j}}{a_{i}} \in A_{n}$ ，试问是否存在函数 $f (x)$ ，使得集合 $A_{n}$ 是 $D = [a_{1} ， a_{n}]$ 的 $T$ 子集？若存在，求 $f (x)$ 的解析式；若不存在，说明理由．

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