湖南省株洲市第四中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题B

试卷更新日期：2025-07-10 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 已知复数z与 $\frac{4 - i}{2 + i}$ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 $z =$ （）．

A、 $- \frac{7}{5} + \frac{6}{5} i$ B、 $- \frac{7}{5} - \frac{6}{5} i$ C、 $\frac{7}{5} + \frac{6}{5} i$ D、 $\frac{7}{5} - \frac{6}{5} i$

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 1$ ， $A C = 5$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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3. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (- \frac{3}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 如图，已知圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A B$ 是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $4 π$

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5. 某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）

A、极差 B、45%分位数 C、平均数 D、众数

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6. 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行 $4 \sqrt{3}$ 米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ 米 B、 $4 \sqrt{5}$ 米 C、 $5 \sqrt{2}$ 米 D、 $16 \sqrt{3}$ 米

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7. 如图，在四面体 $P - A B C$ 中，点 $P$ 在平面 $A B C$ 上的射影是 $A$ ， $A C ⊥ B C$ ，若 $P A = B C = 2, P B = 2 \sqrt{10}$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 a + \sin x}{2 a + \cos x}$ （ $| a | > 1$ ）的最大值和最小值是 $M$ 、 $m$ ，则 $M \cdot m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $z$ 为复数， $i$ 为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、若 $z = \frac{i}{2 + i}$ ，则 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 ${|z|}^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、若 $|z + 1| = |z - 1|$ ，则 $z$ 为纯虚数 D、若 $|z| = 1$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1

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10. 连续抛掷一枚硬币两次，事件 $A$ 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 $B$ 表示“第二次硬币反面朝上”，事件 $C$ 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 $D$ 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（）

A、 $A$ 与 $C$ 相互独立 B、 $A$ 与 $D$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是棱 $A D, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $E F ⊥ B_{1} C$ B、直线 $F G$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $B - E F G$ 的体积为 $\frac{5}{6}$ D、过 $E, F, G$ 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.

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14. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 9$ ，则 $|\vec{E F}| =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中， $a^{2} = b^{2} - c^{2} + \frac{2}{3} a c$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = 2 \sqrt{7}$ ；条件②： $a \sin A = \sqrt{3}$ ；条件③： $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，且 $A B = A D = 4, B C ⊥ C D, P B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；

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17. 某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对 $A, B$ 类每个问题的答对的概率均为0.5.在 $A$ 类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在 $B$ 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)、求小明在第一轮得40分的概率；

(2)、求小红两轮总分得60分的概率；

(3)、试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $cos C + 2 cos B cos (\frac{π}{3} + A) = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径 $R = \sqrt{3}$ .
（i）作角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C} (m, n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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19. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M是边BC上的一点，将 $△ A B M$ 沿着AM折起，使点B到达点P的位置.

(1)、如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： $C N ∥$ 平面PAM；

(2)、如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： $C D ⊥$ 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 $P - H C D$ 的外接球的体积最大，并求出最大值.

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