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相关试卷

1、某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
$F$
$G$
研发投入 $x$ （万元）
300
600
900
1200
2000
2800
4000
年度专利产出数 $y$ （件）
3
5
7
6
9
10
11

(1)、现从这7家企业中随机抽取1家.记事件 $M$ ：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件 $N$ ：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率 $P (N ∣ M)$ 的值；
（ii）判断事件 $M$ 与 $N$ 是否相互独立，并说明理由；

(2)、从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别是 $a, b, c$ .已知 $a, b, c$ 成等差数列，且 $2 \sin A = \sin C$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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3、已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正四面体 $P - A B C$ 的外接球球心为 $O$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E B}$ ，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，若截面面积为 $\frac{13}{16} π$ ，则直线 $O E$ 与该截面所成的角的正弦值为.

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ 与非零向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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5、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，若 $C$ 上存在 $n$ 个互不重合的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ 满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = \dots = ∠ P_{n - 1} F P_{n} = ∠ P_{n} F P_{1} = \frac{2 π}{n}$ ，下列结论中正确的有（）

A、当 $n = 2$ 时，则 $|P_{1} P_{2}|$ 的最小值为4 B、当 $n = 3$ 时，存在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 使得点 $F$ 为 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的重心 C、当 $n = 4$ 时，则 $|P_{1} P_{3}| + |P_{2} P_{4}|$ 的最小值为16 D、当 $n = 6$ 时，则 $\frac{1}{|P_{1} F|} + \frac{1}{|P_{2} F|} + \frac{1}{|P_{3} F|} + \dots + \frac{1}{|P_{6} F|} = 3$

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6、任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，若事件 $A = \{1, 2, 5\}$ ，事件 $B = \{1, 3, 5\}$ ，事件 $C$ 满足 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两独立 C、当事件 $A B C = \{5\}$ 时， $P (C) = \frac{2}{3}$ D、当事件 $A B C = \{1\}$ 时，满足条件的事件 $C$ 有3个

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7、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1, b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $b_{2} + b_{4} + b_{6} + b_{8} + b_{10} = 25$ C、 $\{b_{a_{n}}\}$ 为等比数列 D、 $a_{n} > b_{n}$

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8、桌面上有以下四种几何体，设点 $P$ 是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点 $P$ 到桌面的距离最大的几何体是（）

A、棱长为1的正方体 B、表面积为 $4 π$ 的球 C、轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D、体积为 $\frac{π}{2}$ 且轴截面为直角三角形的圆锥

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9、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且 $f (2 x - 1)$ 为奇函数，则一定有（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 0$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和， $2 a_{6} = a_{5} + 5$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、55 B、65 C、15 D、60

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11、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x | 2 x^{2} - x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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12、设抛物线 $Ω$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点为 $F$ ，且线段 $O F$ 的中点为 $(\frac{p}{4}, 0)$ （ $p > 0$ ）.

(1)、当 $p = 8 \sqrt{7}$ 时，求 $Ω$ 的准线方程.

(2)、点 $A$ 为 $Ω$ 上一动点，过 $A$ 作 $Ω$ 的准线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，设过 $A$ ， $F$ ， $H$ 三点可作双曲线 $C$ ，且 $C$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上.
（ⅰ）若 $C$ 过点 $O$ ，求 $C$ 的方程；
（ⅱ）求 $C$ 的离心率的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = - a x^{3} + 2 x e^{x}$ .

(1)、证明：存在 $m \in R$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在点 $(m, f (m))$ 处切线的斜率为定值.

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 零点的个数.

(3)、当 $f (x)$ 的零点个数最多时，证明： $f (x)$ 的零点之和大于3.

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14、已知集合 $\{x \in Z |a_{n} < x < b_{n}, n \in N^{*}\}$ 中元素的个数为 $c_{n}$ .

(1)、若 $a_{n} = - n$ ， $b_{n} = 3^{n}$ ，求 $c_{2}$ .

(2)、若 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 均为等差数列且 $a_{n} < b_{n}$ ， $a_{n}$ ， $b_{n} \in Z$ ，证明： $\{c_{n}\}$ 也为等差数列.

(3)、若 $a_{n} = 2^{n} - \frac{2}{n}$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 2$ ，且 $b_{1} = 10$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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15、某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.

(1)、求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.

(2)、若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.

(3)、使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.

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16、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $E F$ 上的动点.

(1)、证明： $B_{1} G / /$ 平面 $A C D$ .

(2)、若 $G$ 为线段 $E F$ 的中点，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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17、来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有种.

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18、已知 $P$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，若 $| P A | = 2 | P B |$ ，过点 $A$ 作 $P B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| A H | =$ ，点 $H$ 到 $y$ 轴的距离为.

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19、设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则不等式 $1 \leq 2^{[x]} \leq 4$ 的解集为.

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20、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P$ ， $Q$ 在平面 $A B C D$ 的同一侧，且 $P A = Q B = 2$ ，则（）

A、点 $Q$ 在四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的球面上 B、四棱锥 $Q - A B C D$ 内切球的表面积为 $(26 - 16 \sqrt{2}) π$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 与四棱锥 $Q - A B C D$ 公共部分的体积为 $\frac{5}{3}$ D、四棱锥 $Q - A B C D$ 的四个侧面所在平面将空间分成14个部分

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企业	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$
研发投入 $x$ （万元）	300	600	900	1200	2000	2800	4000
年度专利产出数 $y$ （件）	3	5	7	6	9	10	11