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相关试卷

1、某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为 $X$ ，且 $X$ 的分布列如下表所示，则 $p =$ （）
$X$
0
1
2
$P (X)$
$7 p$
$\frac{7}{15}$
$p$

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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2、已知 $f (x) = \frac{2}{x} + 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、0 D、2

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3、 $A_{5}^{3} + A_{3}^{2} =$ （）

A、8 B、13 C、63 D、66

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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5、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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6、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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7、在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ；n， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数和样本方差为 $\bar{ω}$ ， $s^{2}$ ，其中 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}])$ ．

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8、某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为．

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，截面S的形状为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 交于点R，则 $C_{1} R = \frac{1}{4}$ D、当 $\frac{1}{2} < C Q < 1$ 时，直线 $P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角正弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{1}{2})$

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10、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ， $|z| = \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的最大值为6

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11、抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $N$ 表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件 $N$ 相互独立的是（）

A、第二次朝上的数字是奇数 B、第二次朝上的数字为2 C、两次朝上的数字之和为9 D、两次朝上的数字之和为10

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12、已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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13、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，且 $|M A| = 2 |M O|$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|\frac{6 + 3 i}{z}| =$

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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15、已知四面体 $A B C D$ .

(1)、若该四面体为正四面体，球 $O$ 与其四个面都相切，证明：该四面体与球 $O$ 的体积之比等于它们的表面积之比；

(2)、设点 $G$ 是满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ，过点 $G$ 的平面 $Ω$ 分别与直线 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 交于点 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，且 $\vec{A P} = λ_{1} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = λ_{2} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = λ_{3} \vec{A D}$ ，证明： $\frac{1}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}} + \frac{1}{λ_{3}} = 4$ ；

(3)、若空间内一点 $H$ 满足 $a \vec{H A} + b \vec{H B} + c \vec{H C} + d \vec{H D} = \vec{0}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，且全不为0），证明： $V_{H - B C D} : V_{H - A C D} : V_{H - A B D} : V_{H - A B C} = |a| : |b| : |c| : |d|$ .

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16、一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为 $1, 2, 3$ ，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为 $i$ ，第二次摸到的小球号码为 $j$ .

(1)、记“ $i + j > i \cdot j$ ”为事件 $A$ ，求 $P (A)$ ；

(2)、完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为 $k$ ，号码 $i, j, k$ 中出现偶数的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ .的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ .若 $a_{11} + a_{15} + a_{19} = 12$ ，则 $S_{29} =$ .

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18、已知A，B，C是抛物线 $W : y^{2} = 28 x$ 上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为 $P (m, n)$ ，则（）

A、当 $m = 9$ 时， $|A B|$ 的最大值为32 B、当 $m = 8$ 时， $|C P| + |C F|$ 的最小值为22 C、当 $n = 5$ 时，直线AB的斜率为 $\frac{14}{5}$ D、当 $\vec{A F} // \vec{A B}$ 时，点P到直线l的距离的最小值为14

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19、已知函数 $f (x) = \frac{|2^{x - 1} - 1| + 2^{x - 1} + 1}{2}$ ，若 $f (m^{2} - m - 1) > f (- m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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20、六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{10}$

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$X$	0	1	2
$P (X)$	$7 p$	$\frac{7}{15}$	$p$