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相关试卷

1、下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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2、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极大值点，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = a e^{- x} + \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上单调递减，则实数a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{e}$ D、e

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4、 $(x + y) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是（）

A、10 B、 $- 10$ C、5 D、 $- 5$

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5、设函数 $f (x) = x \ln x - a (x^{2} - 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、已知公差不为零的正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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7、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 1) e^{x - 2}$ ，且 $f^{'} (2) = 4$ .

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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8、已知在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 $\frac{2}{5}$ .

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项；

(3)、求展开式中的有理项.

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9、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{4} f (3 x - 4) > e^{2 x} f (x)$ 的解集为.

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10、设 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ ．

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11、对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 既没有最大值也没有最小值 C、若方程 $f (| x |) = k$ 有4个不等的实数根，则 $k > e$ D、设 $g (x) = | f (x) | - 2 k + 1$ 有3个不同的零点，则 $k > \frac{e + 1}{2}$

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12、现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（）

A、五位学生去实习的不同安排方案有125种 B、若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C、若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D、若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种

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13、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各项系数之和为 $1$ B、二项式系数之和为 $32$ C、展开式中二项式系数最大的项是第 $4$ 项 D、展开式中第 $5$ 项为常数项

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14、中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{30}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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15、已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{3 x - 4}$ ，则 $C_{7}^{x} =$ （）

A、7 B、21 C、35 D、42

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为点A，B，且 $| A B | = 4$ ，椭圆C离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线 $A M$ ， $B N$ 的交于点Q，求证：点Q在直线 $x = 4$ 上．

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq x^{2} - x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D,$ $P A = P B = 3$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60 °, M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $P M ⊥ A C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P M C$ 所成角的正弦值．

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19、某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为 $30 %$ 、 $40 %$ 、 $30 %$ .环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为 $0.02;$ 是中午投放的条件下，违规混投的概率为 $0.03;$ 是晚上投放的条件下，违规混投的概率为 $0.04.$ 现随机抽查一袋垃圾，求：

(1)、这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率；

(2)、这袋垃圾存在违规混投的概率；

(3)、若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x e^{x}, & x < 1 \\ \frac{ln x}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$ ，函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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