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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $|z_{1} z_{2}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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3、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 1, 2\}, B = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 2\}$

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4、已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ， $g (x) = l n x + f (\frac{π}{16} x + \frac{π}{24}) .$

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的取值范围；

(2)、证明： $g (x)$ 在区间 $(0, 2]$ 上有唯一零点；

(3)、证明： $g (x) > 0$ 在 $(2, + \infty)$ 上恒成立．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x, x > 1 \end{array}$ .

(1)、在给出的坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间和值域；

(2)、若 $f (x)$ 图象与直线 $y = k$ 恰有两个交点，写出 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，写出 $a, b$ 的取值范围．

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6、已知 $f (x) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + x) \cos (\frac{3 π}{2} - x) \tan (π - x)}{\cos (π - x) \sin (π + x)}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (α) = 3$ ，求 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ ．

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7、已知函数 $f (x) = |lg x|$ ， $f (a) = f (b)$ ，且 $a \neq b$ ，则（1） $a b =$ ，（2）当 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 取得最小值时， $\frac{a}{b} =$ ．

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8、已知 $\cos φ = - \frac{1}{3} (π < φ < 2 π)$ ，则 $sin 2 φ =$ ．

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9、函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的反函数过点 $(9,2)$ ，则 $a =$ ．

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10、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(2^{\frac{1}{4}})}^{2} = \sqrt{2}$ B、 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ C、 $e^{2 \ln 3} = 6$ D、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 8 = 3$

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11、已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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12、已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = x \sin x$ B、 $y = | x | \cos x$ C、 $y = x + \sin x$ D、 $y = - x \sin x$

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13、已知某扇形的弧长和面积均为 $2$ ，则该扇形的圆心角（正角）为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $π$ C、 $2$ D、 $1$

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14、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α) + \sin (π + α)}{\cos (3 π - α) + \sin (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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16、设函数 $f (x)$ 在非空数集M上的取值集合为N，即 $N = \{f (x) |x \in M\}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则称 $f (x)$ 为M上的“集中函数”．

(1)、分别判断 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = x^{2}$ 是否为 $[0, 4]$ 上的“集中函数”，并说明理由；

(2)、设 $a \geq 0$ ，若存在实数b，使得 $f (x) = {(x - a)}^{2} + b$ 为 $[0, 1]$ 上的“集中函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \log_{2} (\frac{9}{1 + 2^{x}} - 1)$ 为 $[a, b]$ 上的“集中函数”，求证： $a + b < 2$ ．

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17、已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $h (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ 的单调增区间；

(3)、设 $0 < θ < π$ ，记 $f (x)$ 在区间 $[0, θ]$ 上的最小值为 $g (θ)$ ，求 $g (θ)$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、若方程 $f (x) = k$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；

(2)、令 $g (x) = x^{2} + x^{- 2} - \frac{2 t}{f (x)} (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ， $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \leq \frac{17}{4}$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - a \cdot 2^{x}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - k \cdot 2^{x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在零点，求实数k的取值范围．

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20、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α + \frac{π}{6})$ 的值．

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