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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln x + (1 - m) x - ln m$ 的最小值为0，则 $m =$ ．

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2、若存在 $a, b, c \in [π, 2 π]$ （ $a, b, c$ 互不相等），满足 $|\sin ω a| + |\sin ω b| + |\sin ω c| = 3 (ω > 0)$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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3、“ $\infty$ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 $C$ 过坐标原点 $O$ ， $C$ 上的点到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为定值．则下列说法正确的是（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、若 $|F_{1} F_{2}| = 12$ ，则 $C$ 的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 72 (x^{2} - y^{2})$ B、若 $C$ 上的点到两定点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的距离之积为16，则点 $(- 4, 0)$ 在 $C$ 上 C、若 $a = 3$ ，点 $(3, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $2 < y_{0}^{2} < 3$ D、当 $a = 3$ 时， $C$ 上第一象限内的点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，则 ${|P F_{1}|}^{2} - {|P F_{2}|}^{2} = 18 \sqrt{3}$

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4、在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量分别为 $\vec{a_{1}}$ 、 $\vec{a_{2}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}|$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |\vec{a_{1}} - \vec{a_{2}}|$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $y = f (2 x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，若 $f (0) = - 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{50} f (i) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则在下列区间中，函数 $g (x)$ 单调递减的是（）

A、 $(0, \frac{π}{8})$ B、 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{3π}{8})$ D、 $(\frac{3 π}{8}, \frac{π}{2})$

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7、记 $S_{n}$ 为非零数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{1}} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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8、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $A, B, C$ 成等差数列．
（1）若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} = - \frac{3}{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a + c$ 的值；
（2）求 $2 \sin A - \sin C$ 的取值范围．

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9、某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
人数/千人
2082
2135
2203
2276
2339
2385
(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势；
(2)研究人员用函数 $P (t) = 2000 + \frac{450}{4.4878 e^{- 0.6554 t} + 1}$ 拟合该地的人口数量，其中 $t$ 的单位是年，2014年初对应时刻 $t = 0 ， P (t)$ 的单位是千人，设 $P (t)$ 的反函数为 $T (x) ，$ 求 $T (2400)$ 的值(精确到0.1)，并解释其实际意义.

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10、请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) + 1$ ， $x \in R$ ．
（1）求曲线 $y = f (x)$ 的对称中心；
（2）在锐角三角形 $A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ．若 $b + c \leq k a$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值．

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12、如图为函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，且 $|C D| = \frac{π}{4}$ ， $A (- \frac{5 π}{12}, - 2)$ ．

(1)、求 $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，讨论函数 $y = g (x) - a$ 在区间 $[- π, \frac{π}{2}]$ 的零点个数．

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13、角 $θ$ 的终边经过点 $P (4, y)$ ，且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ ．

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14、已知 $\sin α - \sqrt{2} \cos α = \sqrt{3}$ ，则 $\tan α$ 的值是．

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall α, β \in R, f (α + β) + f (α - β) = 2 f (α) f (β)$ ，且 $f (0) = 1, f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (\frac{π}{4}) = 0$ B、 $f (π) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f (x + π) = f (x)$

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16、已知锐角 $φ$ 满足 $\sqrt{3} \sin φ - \cos φ = 1$ ．若要得到函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \sin^{2} (x + φ)$ 的图象，则可以将函数 $y = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象（）．

A、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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17、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x \in N |(x - 1) (x - 5) < 0\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 5\}$ D、 $\{- 1, 1, 5\}$

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18、下列函数是奇函数且在区间 $(0, 1)$ 上是增函数的是（　　）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = 3^{- x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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19、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (t,− \sqrt{t}) (t >0)$ ，则（）

A、 $cos2 θ >0$ B、 $cos2 θ <0$ C、 $sin2 θ >0$ D、 $sin2 θ <0$

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20、已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，其中 $a \in R$ ， $b \in R$ ，如果对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \neq 2$ ，那么在下列不等式中一定成立的是（）

A、 $- 4 < a + b < 4$ B、 $- 4 < a - b < 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 2$ D、 $a^{2} + b^{2} < 4$

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年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019
人数/千人	2082	2135	2203	2276	2339	2385