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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的常数项.

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3、若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 3 m x + 1$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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4、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ .则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = - 144$ B、 $a_{0} = 1$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots - a_{9} = - 3^{9}$

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5、下列求导过程正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{x})}^{'} = - \frac{2}{x^{2}}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ D、 ${[\cos (\frac{3}{2} π - 3 x)]}^{'} = - 3 \sin (\frac{3}{2} π - 3 x)$

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6、定义在区间 $[- \frac{1}{2}, 4]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值

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7、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，则当 $a > b$ 时，下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} f (a) > e^{b} f (b)$ B、 $e^{b} f (a) > e^{a} f (b)$ C、 $e^{b} f (b) > e^{a} f (a)$ D、 $e^{a} f (b) > e^{b} f (a)$

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8、学校乒乓团体比赛采用 $5$ 场 $3$ 胜制（ $5$ 场单打），每支球队派 $3$ 名运动员参赛，前 $3$ 场比赛每名运动员各出场 $1$ 次，其中第 $1$ 、 $2$ 位出场的运动员在后 $2$ 场比赛中还将各出场 $1$ 次，假设某球队派甲、乙、丙 $3$ 名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（）

A、 $12$ B、 $18$ C、 $30$ D、 $36$

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ， $x \in R$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $5 x - y + 2 = 0$ B、 $5 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 5 y + 2 = 0$ D、 $x - 5 y - 2 = 0$

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10、若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（）

A、625 B、1024 C、120 D、24

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11、若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则可导函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、 ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 的展开式中常数项是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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13、定义正方形数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 满足 $a_{(i, j)} = i^{2} - j^{2}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ .

(1)、若 $i + j = 100$ ，求数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 所有项的和T；

(2)、若m，n，p， $q \in N^{*}$ ，求证： $a_{(m, n)} a_{(p, q)}$ 也是数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 中的项；

(3)、若 $i$ ， $j \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ， $i \neq j$ 且 $n \geq 3$ ，求 $a_{(i, j)}$ 的值为奇数的概率 $P_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = x \ln x - k (x - 1) ， k \in R$

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上有1个零点，求实数k的取值范围；

(3)、若 $f (x) + x > 0$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 上恒成立，求出正整数k的最大值；

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15、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P, Q$ 分别在线段 $B M, A C$ 上，且 $B P = 2 P M$ ， $A Q = 2 Q C$ ．

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2 C D = 6$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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16、在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ ，若________，求：

(1)、 $n$ 的值；

(2)、展开式中二项式系数最大的项．

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17、将9个互不相同的向量 ${\vec{a}}_{i} = (x_{i}, y_{i}), x_{i}, y_{i} \in \{- 1, 0, 1\}, i = 1, 2, \dots, 9$ ，填入 $3 \times 3$ 的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是.

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18、已知函数 $f (x) = 2 a x - 2 \ln x$ ，函数 $g (x) = x - 2$ ，若恒有 $g (x) \leq f (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 1}{2 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{9}}{b_{9}} =$ .

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a > 0$ ）存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且 $f (x_{1}) = x_{1}$ ， $f (x_{2}) = - x_{2}$ .设 $f (x)$ 的零点个数为m，方程 $3 a {(f (x))}^{2} + 2 b f (x) + c = 0$ 的实根个数为n，则（）

A、 $x_{2} > 0$ B、n的取值为2、3、4 C、 $m n = m + n + 2$ D、mn的取值为3、6、9

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