广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-04-29 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有—项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1. 已知集合 $M = {x | - 3 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{x |- 1 \leq x < 1\}$ B、 $\{x |x > - 3\}$ C、 $\{x | - 3 < x < 4\}$ D、 $\{x |x < 4\}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}, cos (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $sin α sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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5. 2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M$ 分别为所在棱的中点， $P$ 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ B、 $M P / / A C_{1}$ C、 $M P ⊥ C_{1} D$ D、 $E F / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f (0) + f (3) = 3$ ，则（）

A、 $f (x - 1) = f (x + 1)$ B、 $f (2025) = 3$ C、函数 $f (x)$ 的周期为2 D、 $f (2024) = 3$

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8. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $α + β - \frac{π}{2} > \sin β - \cos α$ ，则（）

A、 $\sin α > \sin β$ B、 $\cos α > \cos β$ C、 $\cos α > \sin β$ D、 $\sin α > \cos β$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = ln |x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 4) < f (3)$ C、 $f (x)$ 无零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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10. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M射入，经过C上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 反射，再经过C上另—点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则（）

A、C的准线方程为 $x = - 1$ B、 $y_{1} y_{2} = - 4$ C、若点 $M (2, 1)$ ，则 $|A B| = \frac{11}{2}$ D、设直线 $O A$ 与C的准线的交点为 $N$ ，则点 $N$ 在直线 $l_{2}$ 上

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11. 设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，现定义 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则 $H (X)$ 随着n的增大而增大 C、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 的最小值为1 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{j + m} (j = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m)$ ，则 $H (X) > H (Y)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $B C = 1, B = 2 A,$ 则 $\frac{A C}{\cos A}$ 的值等于．

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13. 已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ，且 $P (X < 70) = 0.2$ ，从试验田中随机抽取10株，果实个数在 $[90 ， 110]$ 的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{m} + \log_{n} x$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ 且 $n \neq 1$ ），若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $\frac{m}{n}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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16. 体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每次是否投中相互独立．

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、若乙同学每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \frac{3}{a}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段 $A B$ 与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

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18. 如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $D A = D C = \sqrt{2}$ ，将 $△ D A C$ 沿AC翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P B = 2$ ．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的取值范围．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ， $A (0, b)$ ， $B (0, - b)$ ．椭圆C内部的一点 $T (t, \frac{1}{2}) (t > 0)$ ，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．

(1)、若椭圆C的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b的值；

(2)、设 $△ B T M$ 的面积是 $S_{1}$ ， $△ A T N$ 的面积是 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 5$ ， $b = 1$ 时，求t的值；

(3)、若点 $U (x_{u}, y_{u})$ ， $V (x_{v}, y_{v})$ 满足 $x_{u} < x_{v}$ 且 $y_{u} > y_{v}$ ，则称点U在点V的左上方．求证：当 $b > \frac{1}{2}$ 时，点N在点M的左上方．

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