广东省广州市三校（广大附中、铁一中学、广州外国语）2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2025-07-12 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 7$ ， $S_{9} = 90$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、20 B、18 C、16 D、15

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x + a}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
3. 下列说法不正确的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，且回归方程为 $y = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(- 4, m)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 0.6$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 2) = 0.7$ ，则 $P (1 < X \leq 2) = 0.2$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D、一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19

查看试题解析
4. 已知 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形， $E$ 为 $B C$ 中点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
5. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{c} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{c})$ ，其中 $T_{c}$ 是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.9 B、3.4 C、3.9 D、4.4

查看试题解析
6. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，若 $P B ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

查看试题解析
7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 经过 $F_{2}$ ，且与C交于A，B两点，若 $\vec{A F_{2}} = \frac{1}{3} \vec{F_{2} B}$ ， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（）

A、 $\frac{31}{96}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{64}$ D、 $\frac{23}{64}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $a > 0, b > 0, 且 a + b = 4,$ 则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 8$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{4}$

查看试题解析
10. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件 $A =$ “第一次取出的是红球”，事件 $B =$ “第二次取出的是红球”，事件 $C =$ “取出的两球同色”，事件 $D =$ “取出的两球不同色”，则( )

A、A与B互斥 B、C与D互为对立事件 C、A与C相互独立 D、 $P (D | B) = \frac{1}{3}$

查看试题解析
11. 已知 $x = - 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{2 x}$ 的极大值点，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值为0 B、若 $- 1 < x < 0$ ，则 $f (x^{3}) > f (x)$ C、若 $0 < m < \frac{1}{e^{2}}$ ，则 $y = f (x) - m$ 有3个相异的零点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{2} > x_{1} > - 1$ ），则 $x_{1} + x_{2} < 0$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分

12. 若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

查看试题解析
13. 为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种．

查看试题解析
14. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0, a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 4 x + a ln x (a \in R)$ 有两个极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 10 > ln a$ .

查看试题解析
17. 甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)、如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；

(3)、如果每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $q (q = 1 - p)$ ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，不与 $x$ 轴垂直的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ），且直线 $A_{1} P$ 的斜率等于直线 $A_{2} Q$ 的斜率的2倍，求证：直线 $l$ 经过定点．

查看试题解析
19. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $△ A C D$ 为正三角形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，现将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ S A C$ ，形成三棱锥 $S - A B C$ ，其中 $S$ 为动点.

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $S C ⊥ B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，求球心 $O$ 到平面 $S A C$ 的距离；

(3)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角余弦值的最小值.

查看试题解析