浙江省山海高中共富联盟2024-2025学年高一下学期阶段性联考数学试卷

试卷更新日期：2025-07-08 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $z = i (1 + 2 i)$ 在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 1班有学生45人，2班有学生27人，3班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出24人参加数学趣味活动，那么1班被抽取的人数是（）

A、9 B、10 C、11 D、以上都不正确

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3. 现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（）

A、14 B、14.5 C、15 D、18

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4. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $n \subset α$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $β / / γ$ ，则 $α ⊥ γ$

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5. 已知 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为3，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为（）

A、6 B、7 C、12 D、18

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6. 若 $|\vec{m}| = 4$ ， $|\vec{n}| = 6$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|\vec{m} - \vec{n}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、2 D、28

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7. 已知圆台 $O_{1} O$ 上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{5} π$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D在边AB上， $∠ A C B = 3 ∠ B C D$ ， $4 \vec{A D} = 5 \vec{D B}$ ，则 $\cos ∠ A C D =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{32}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某新能源汽车4S店2024年6月到2025年3月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，19，24，25，25，27，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是（）

A、极差为24 B、平均数为28 C、众数为25 D、中位数为25

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10. 如图， $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A F} = \vec{F B}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = 3 \vec{A D}$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$

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11. 如图，棱长为2的正方体中 $A B C D - A B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $A_{1} C$ 与平面 $C_{1} C D D_{1}$ 所成的角为 $45 °$ C、二面角 $B - C_{1} D - D_{1}$ 平面角的正切值为 $- \sqrt{2}$ D、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ ．

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13. 若圆锥的母线长为 $2$ ，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是．

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14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形 $A B C$ 的边长为4， $P$ 为弧 $A B$ 上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.15题13分，16，17题15分，18，19题17分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足： $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 3)$

(1)、求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数 $λ$ 的值.

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16. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 4$ ， $B_{1} B = 6$ ， $D$ 是棱 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、该正三棱柱被平面 $B D C_{1}$ 截去一个棱锥 $C_{1} - B D C$ ，求剩余部分的体积.

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17. 第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）第70百分位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，顶点 $P$ 在底面的射影是线段 $A D$ 的中点 $O$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $O E //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $45 °$ ，求 $O E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{sin A - sin B}{sin C} = \frac{a - c}{a + b}$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $B C = 1$ ， $cos A = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ，求 $A B$ ；

(3)、若 $B C = A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 在线段 $A C$ 上，且 $∠ M B N = \frac{π}{6}$ ，问当 $∠ C B N$ 取何值时， $△ M B N$ 的面积最小，并求出面积的最小值.

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