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相关试卷

1、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = 2, A A_{1} = 3$ .

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知点 $P$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，求四面体 $P A C B_{1}$ 的体积.

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2、记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 7$ ， $S_{3} = - 9$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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3、已知两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n - 7}{n + 1}$ ，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 为整数的正整数 $n$ 的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、点 $A (1, 2)$ 关于直线 $l : x + y - 1 = 0$ 的对称点为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(- 1, 1)$

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5、已知 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $l, m$ 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m \subset α$ ， $l \subset β$ ，则 $m ∥ l$ B、若 $m ∥ l$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ α$ D、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$

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6、已知 $A$ 为椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，点 $M$ 、 $N$ 的坐标分别为 $(0, t)$ 和 $(0, - t) (0 < t < a)$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且 $M P ∥ N Q$ ，直线 $A P$ 和 $A Q$ 的斜率之差为 $- 6$ ， $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，则椭圆的离心率为.

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7、已知曲线 $E : \frac{x | x |}{2} + \frac{y | y |}{4} = 1$ ， $P (x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $E$ 上任意一点，则 $| \sqrt{2} x_{0} + y_{0} |$ 的最大值为.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的投影是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，且 $△ P D B$ 是等边三角形，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，若直线 $P E$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围为．

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9、已知圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ， $A (- m, 0)$ ， $B (m, 0)$ ，若圆C上存在点P使 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则正数m的值可以是.（写出一个满足条件的值即可）

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10、已知点 $A (3, 4)$ ， $B (- 2, 6)$ ，若直线 $l : (m + 2) x - (m + 1) y + m + 1 = 0$ 始终与线段AB有交点，则直线 $l$ 斜率 $k$ 的取值范围是.

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11、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{°}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于.

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12、已知 $A (4, 1)$ ， $B (- 2, 3)$ ，则以 $A B$ 为直径的圆的方程为.

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 2$ ， $S_{5} - S_{2} = 14$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为．

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14、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线为 $y = \frac{1}{2} x$ ，则 $m$ 的值为.

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15、已知 $A (4, 5)$ ， $B (2, - 1)$ 两点在直线l上，则直线l的斜率为.

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16、已知函数 $f (x) = m (1 - x) - ln x - 1$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ ，求 $m$ 的值；

(3)、当 $m > 1$ 时，证明： $g (x) = f (x) + x e^{x} - m$ 有2个零点．

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差大于0的等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} + 1$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项. $\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 2$ ， $b_{3} - b_{2} = 4$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n + 2}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} \frac{a_{i}^{{(- 1)}^{i}}}{c_{i}}$ ；

(3)、记 $d_{m}$ 为 $\{b_{n}\}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 $\{d_{m}\}$ 的前100项和.

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $△ A B F$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知点 $R$ 的坐标为 $(4, 0)$ ， $M$ ， $N$ 是直线 $x = 4$ 上的两点（ $M$ 在 $x$ 轴上方， $N$ 在 $x$ 轴下方），直线 $A M$ ， $A N$ 与椭圆分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $P$ ， $F$ ， $Q$ 三点共线，求证： $∠ M F R = ∠ F N R$ .

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19、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥ A D$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ .

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P C B$ 与平面 $P B Q$ 夹角的正弦值；

(3)、已知点 $H$ 在棱 $P D$ 上，且异面直线 $A H$ 与 $P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15}$ ，求线段 $D H$ 的长.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\sqrt{2} cos C (a cos B + b cos A) + c = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ 时，
（i）求边长 $c$ ；
（ii）求 $sin (2 B + C)$ 的值.

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