广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷

试卷更新日期：2025-05-29 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

查看试题解析
2. 已知 $(1 + i) z = 1 + i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、0 D、 $- 2$

查看试题解析
3. 某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

查看试题解析
4. 设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} + p x + p - 1 = 0 (p > 1)$ 的两根，则 $\frac{\sin (α + β)}{\sin α \sin β} =$ （）

A、p B、 $- p$ C、 $\frac{p}{p - 1}$ D、 $\frac{p}{1 - p}$

查看试题解析
5. 已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且满足 $g (x) = f (x) + e^{- x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $f (2 x)$ D、 $g (2 x)$

查看试题解析
6. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M, N$ 为 $C$ 上的不同两点，若线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为2，则 $|M F| \cdot |N F|$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、36

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若A，B，C是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 图象的从左至右相邻的三个交点，且 $|A B| = \frac{1}{3} |B C|$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
8. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件A： $x_{1} = 3$ ，事件B： $x_{2} = 6$ ，事件C： $x_{1} + x_{2} = 9$ ，则（）

A、A，B互斥 B、 $A \cup B = C$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、A，B，C两两独立

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在 ${(1 - 2 x)}^{2 n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、展开式共 $2 n + 2$ 项 B、各项系数的和为1 C、 $x^{2 n - 2}$ 项的系数为 $(2 n^{2} - 2) 4^{n - 1}$ D、二项式系数最大的项为第 $n + 1$ 项

查看试题解析
10. 某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{1}}$ ，方差为 $S_{1}^{2}$ ，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{2}}$ ，方差为 $S_{2}^{2}$ ，两个班总的平均分为 $\bar{x}$ ，方差为 $S^{2}$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ B、若 $m = n$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ C、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$ D、若 $m = n$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ 的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数 $f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ，以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若直线 $M F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 相切，则 $a =$ ．

查看试题解析
13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos A} = 2, b + c = 2 a \cos B + 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

查看试题解析
14. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，在其内部放入两个相外切的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ （可与正方体表面相切），半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则 $r_{1} + r_{2}$ 的最大值为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
1
2
3
4
10
高二年级成绩频率分布直方图

(1)、从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；

(2)、用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量 $X$ 表示这三人中成绩不低于90分的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．

查看试题解析
16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，且 $A_{1} A ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} B = A_{1} C$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}, A_{1} A = 2$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
17. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ．

(1)、若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为 $(3, 3)$ ，求直线l的方程；

(2)、若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点 $M (t, 0) (t < 0)$ ，使得 $∠ P F M = 2 ∠ P M F$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (a + 1) x + \ln x, a \in R$ ．

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x$ 有两个解 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ） $λ$ 为正实数，若当 $s = λ (x_{1} + x_{2})$ 时，都有 $f^{'} (s) < 0$ ，求 $λ$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 对于数集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中 $0 < a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ， $n \geq 2$ ，定义“伴随向量集” $B = \{\vec{b}| \vec{b} = (s, t), s \in A, t \in A\}$ ．若对任意 $\vec{b_{1}} \in B$ ，存在 $\vec{b_{2}} \in B$ ，使得 $\vec{b_{1}} \cdot \vec{b_{2}} = 0$ ，则称A为“好集”．

(1)、已知数集 $A_{1} \in \{- 1, \frac{1}{2}, 1\}$ ，请写出数集 $A_{1}$ 的“伴随向量集” $B_{1}$ ，并判断 $A_{1}$ 是否为“好集”（不需要证明）；

(2)、若有限集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ 为“好集”，求证： $1 \in A$ ，且当 $0 < a_{1} < 1$ 时， $a_{n} = 1$ ；

(3)、若有限集 $A = \{- 1, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ 为“好集”，且 $a_{n - 1} = q, a_{n} = 1$ ，求 $a_{1}$ ．

查看试题解析

成绩	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	1	2	3	4	10