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相关试卷

1、已知平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $C (3, 4)$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是（）

A、 $[15, 35]$ B、 $[- 15, 35]$ C、 $[16, 36]$ D、 $[- 16, 36]$

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2、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ), (x \in R)$ 的图象的一部分如下图所示，其中 $A > 0, ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，为了得到函数 $f (x)$ 的图像，只要将函数 $g (x) = 2 (\cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}), (x \in R)$ 的图象上所有的点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

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3、为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 $x$ （单位： $m^{2}$ ）与水生植物的株数 $y$ （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 $y = k \cdot e^{m x} (k > 0)$ 去拟合 $x$ 与 $y$ 的关系．设 $z = l n y$ ， $x$ 与 $z$ 的数据如表格所示，得到 $x$ 与 $z$ 的线性回归方程 $z = 1.2 x + a$ ，则 $k =$ （）
$x$
3
4
6
7
$z$
2
2.5
4.5
7

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $e^{- 2}$ D、 $e^{- 1}$

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4、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z (1 + i)}{3 - i} = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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5、已知集合 $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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6、已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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7、把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 $A B = A C = 3 ， ∠ B A C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ}$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折至 $△ P B C$ ，使得二面角 $P - B C - D$ 为直二面角．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P, B, C, D$ 在同一个球面上，求该球的半径；

(3)、求平面 $P B D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值．

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8、近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
销量 $y$
33
69
93
129
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 966, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4896, \sqrt{170} \approx 13.04$ $．$

(1)、试根据样本相关系数 $r$ 的值判断该地汽车销量 $y$ 与年份代号 $x$ 的线性相关性强弱（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较强， $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $tan A = \frac{cos B}{1 + sin B}$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆半径为1，当 $△ A B C$ 的面积取最大值时，求 $\frac{b}{a^{2}}$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{3} |D C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为

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11、 $x {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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12、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、此正四面体的表面积为 $3 \sqrt{3}$ B、此正四面体外接球的表面积为 $6 π$ C、此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D、从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 $\frac{2}{5}$

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图象向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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14、已知 $α \in (0, π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、若复数 $z$ 满足 $| z |^{2} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0或 $- i$ D、0或 $i$

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16、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $tan C = \frac{sin A + sin B}{cos A + cos B}$ .

(1)、求C的值.

(2)、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若 $R = 4 \sqrt{3}$ ， $r = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；
（ii）求 $\frac{r}{R}$ 的最大值.

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ P A B$ 都是边长为2的正三角形．

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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18、已知 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 7 - 2 i$ ， $z_{3} = 1 - 3 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1} + 1$ ， $z_{2} - z_{3}$ ， $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点分别为A，B，C．

(1)、求 $|\vec{B C}|$ ；

(2)、已知四点A、B、C、D组成平行四边形 $A B C D$ ，求D点坐标以及 $\cos ∠ B A D$ 的值．

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19、如图所示，为测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $\tan ∠ A C B = \frac{3}{5}$ ， $C D = 50 m$ ， $∠ B C D = 75^{°}$ ， $∠ B D C = 60^{°}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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20、已知向量 $\vec{a} = (11, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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年份	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4
销量 $y$	33	69	93	129

$x$	3	4	6	7
$z$	2	2.5	4.5	7