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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意的实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (x - 2) - f (4 - x)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数且周期为12 C、 $f (4) = - 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{25} f (2 i) = 2$

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2、下列命题正确的是（）

A、若 $x > 1, x + \frac{1}{x - 1}$ 最小值为3 B、 $f (t) = \frac{1}{\sqrt{t^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{1}{x}$ 表示同一个函数 C、若集合 $M$ 满足 ${1, 2} \subseteq M \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ，那么这样的集合 $M$ 有8个 D、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 过定点 $(0, 1)$

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3、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) + 3 a (\sin x - \cos x) + (4 a - 1) x$ 在区间 $[\frac{7}{4} π, 2 π]$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{16}{9}, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{7}]$ D、 $(- \infty, 0]$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{x} + 1}$ ，则满足不等式 $f (m^{2}) + f (2 m) > 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(0, 2)$

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5、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}$ ， $tan α tan β = 2$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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6、若函数 $f (x) = \log_{2 a} (6 - \frac{x}{a})$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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7、已知 $\tan (- 80 °) = k$ ，则 $\tan 100 °$ 的值是（）

A、k B、 $- k$ C、 $\frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$ D、 $- \frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$

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8、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $\sqrt{- 2 a^{2} + 12 a - 18}$ 有意义”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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9、已知集合 $U = \{x ||x| > 1\}$ ， $A = \{x| x > 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, 2)$

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10、已知点 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线截 $C$ 所得线段长为4．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、 $M$ 为抛物线 $C$ 的准线上任意一点，过点 $M$ 作MA，MB与 $C$ 相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x - e^{x}$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、若 $a = 2 e$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x \in (- 1, + \infty), \forall n \in N^{*}, f (x) \leq {(x + 2)}^{n} - x - 3$ ，求 $a$ ；

(3)、利用（2）中求得的 $a$ ，若 $F (x) = f (ln x) + x + \frac{1}{x}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \in (0, 1)$ ，且 $a_{n + 1} = F (a_{n})$ ，证明： $2 a_{n + 1} + a_{n + 3} - 1 > 2 a_{n + 2}$ .

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12、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = e^{x}$ ．
（1）求函数 $h (x) = a g (x) - x$ 的极值；
（2）求函数 $φ (x) = f (x) - \frac{x + a}{x - 1}$ 的单调区间；
（3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．

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13、已知定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，存在一个正实数 $λ$ ，满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq λ |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ，则称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，其中 $λ$ 的最小值称为“伴侣指数”．

(1)、已知 $D = [1, 2]$ ，判断函数 $g (x) = 2 x + 1$ 是否为 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的“ $λ$ －伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由．

(2)、求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“ $λ$ －伴侣函数”．

(3)、已知 $D = [1, 2]$ ，若函数 $g (x) = x + 1$ 是 $f (x) = 2 a (x - 1) e^{x} - x^{2} - 2 x ln x$ 的“4－伴侣函数”，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、称满足以下条件的函数 $f (x)$ 为“ $P_{k}$ 函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的 $y_{0} \in D$ 满足 $f (x) + f (y_{0}) = 2 k (k \in R)$ ．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为．
①若 $f (x), x \in D$ 为 $P_{0}$ 函数，则 $\forall x \in D, - x \in D$ ；② $y = \frac{1 - 4 x}{2 x - 3}$ 是 $P_{- 2}$ 函数；
③ $y = \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x}$ 是 $P_{2}$ 函数；④ $y = |x - 1| - |x + 5| + 1$ 是 $P_{1}$ 函数；
⑤若 $y = x + \frac{3}{x}, x \in (- \infty, - a) \cup (a, + \infty)$ 为 $P_{0}$ 函数，则 $a \geq \sqrt{3}$ ．

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15、若函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - a$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{2} = 2 x_{1}$ ，则 $a =$ ．

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16、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面BCD， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D = 2$ ，则鳖臑 $A - B C D$ 外接球的表面积为.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，过 $P$ 的一条直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，过 $M, N$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $S, T$ ，则（）

A、 $|M F| \cdot |N P| = |N F| \cdot |M P|$ B、 $∠ M F S + ∠ N F T = \frac{π}{2}$ C、 $|M F| \cdot |N F| = |S F| \cdot |T F|$ D、 $△ M N F$ 的面积等于 $△ S T F$ 的面积

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18、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$ ．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 $\{a_{n}\}$ 称为斐波那契数列，现将 $\{a_{n}\}$ 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 $\{b_{n}\}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b_{2023} = 0$ B、 $T_{2023} = 1349$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} = a_{2024}$ D、 $S_{2023} = a_{2024} - 1$

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 1$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为曲线C上一点，则（）

A、曲线C关于x轴对称 B、曲线C关于原点对称 C、点P的纵坐标 $y_{0}$ 的取值范围为 $[- 1, 1]$ D、直线 $y = x + 1$ 与曲线C有且仅有两个公共点

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 $E - A B D$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
② $A_{1} D + D B$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ ；
③点 $D$ 到直线 $C_{1} E$ 的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中所有正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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