浙江省杭州市上城区等5地2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2025-06-25 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x |x^{2} + x - 2 < 0\}, B = [- 2, 0]$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1\}$

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2. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 若 $l, m$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，且 $l \subset β, α \cap β = m$ ．设 $p : l ∥ α, q : l ∥ m$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. ${(1 + 2 x)}^{6}$ 的展开式中第4项的系数是（）

A、20 B、15 C、160 D、120

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5. 若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，则（）

A、 $P (X > 0.9) = P (X < 1.1)$ B、 $P (X < 0.8) > P (X > 1.1)$ C、 $P (0.9 < X < 1.1) = P (1 < X < 1.2)$ D、 $P (0.8 < X < 1.2) < P (0.9 < X < 1.3)$

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6. 如图，圆C和 $Rt △ A O B$ 的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设 $∠ A O P = θ$ ，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（     ）


A、    B、    C、    D、

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7. 若 $\frac{sin α}{cos β} - \frac{cos (α + 2 β)}{sin β} = 2 sin (α + β)$ ，则（）

A、 $cos (α + β) = 0$ B、 $cos (α - β) = \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ D、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (- 1 - x) = f (- 1 + x), f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ．当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = a x^{3} - 3$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、6 B、3 C、5 D、8

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．

9. 设样本数据 $S_{1} : x_{1}, x_{2}, x_{3}; S_{2} : \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{x_{1} + x_{3}}{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1}$ 的平均数等于 $S_{2}$ 的平均数 B、 $S_{1}$ 的中位数小于 $S_{2}$ 的中位数 C、 $S_{1}$ 的极差大于 $S_{2}$ 的极差 D、 $S_{1}$ 的方差小于 $S_{2}$ 的方差

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10. 已知函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}, a, b \in R$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $a = 2, b = - 1$ ，则函数 $f (x) + 2$ 为奇函数 B、若 $f (x)$ 有极小值0，则 $a > b$ C、若 $f (x)$ 有极大值2，则 $a < b$ D、 $f (x)$ 可能在 $x = \frac{a + b}{2}$ 处有极大值

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11. 如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线 $C$ 过点 $F_{1} (- 1, 0)$ ，且曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 到 $F_{1}$ 和 $F_{2} (1, 0)$ 的距离满足 $|P F_{1}| + 2 |P F_{2}| = a$ ，则（）

A、 $a = 4$ B、曲线 $C$ 与单位圆有3个交点 C、 $|O P|$ 的最小值为 $\frac{3}{5}$ D、 $|O P|$ 的最大值为 $\frac{5}{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有种不同的选法．

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13. 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．

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14. 定义：平面点集 $D$ 中的每一点 $P (x, y) (x \in R, y \in R)$ 都有唯一的实数 $f (x, y)$ 与之对应，则称 $f (x, y)$ 为 $D$ 上的二元函数．若点 $P (x, y)$ 的横、纵坐标 $x, y$ 均为整数，则称点 $(x, y)$ 为“整数点”．已知 $f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 4 x + 6$ ，则方程 $f (x, y) = 0$ 的“整数点”为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的零点为 $x_{0}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 x_{0})$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、判断方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数．

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17. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, ∠ D A B = 60 °, E$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ ．设 $M$ 是线段 $A_{1} C$ 的中点， $C E ⊥ A_{1} E$ ．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - D E C$ 的体积；

(3)、求直线 $B M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值．

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18. 若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足以下两个性质：①存在 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M, n \in N^{*}$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1, b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ；
（ⅰ）判断数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；
（ⅱ）记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；

(2)、某同学投篮命中率为 $\frac{1}{4}$ ，每次投篮相互独立，设随机变量 $X$ 为投篮 $2 n$ 次命中的次数，记 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} P (X = 2 k - 1)$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左右焦点，过双曲线 $C$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作双曲线的切线 $l$ （ $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）交 $y$ 轴于点 $Q$ ；
（ⅰ）证明： $F_{1}, F_{2}, P, Q$ 四点共圆；
（ⅱ）当 $x_{0} > 0$ 时，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线与 $∠ P F_{1} F_{2}$ 的角平分线交于点 $M$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

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