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相关试卷

1、金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设 $A B = a$ ，则E到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9} a$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{12} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9} a$

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2、已知函数 $f (x) = x - x^{3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t)) (t \in (0, 1))$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，则（）

A、当 $x > 0$ 时， $h (x) > h (0)$ B、当 $x < 0$ 时， $h (x) < h (0)$ C、当 $x > 0$ 时， $h (x) \leq 0$ D、当 $x < 0$ 时， $h (x) \geq 0$

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3、设 $α \in R$ ，则“ $\sin 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $\tan α = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在矩形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A D = 2, A B = \sqrt{2}$ ，点E为线段 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $A C$ 交于点F．设 $\vec{A F} = k_{1} \vec{e_{1}} + k_{2} \vec{e_{2}} (k_{1}, k_{2} \in R)$ ，其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $\vec{A B}, \vec{A D}$ 方向相同的单位向量，则（）

A、 $k_{1} = \frac{2}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $k_{1} = \frac{\sqrt{2}}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$ C、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = | x | - | x - 2 | + 1$ ，则对任意实数x，有（）

A、 $f (1 - x) = 2 - f (1 + x)$ B、 $f (- x) = - f (x) - 2$ C、 $f (2 - x) = 2 + f (x)$ D、 $f (2 + x) = f (2 - x)$

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6、已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7、已知 $a = \log_{0.5} 0.2, b = {0.5}^{0.5}, c = 2^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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8、若抛物线 $C : x^{2} = m y (m \neq 0)$ 的焦点坐标为 $(0, - 1)$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $y = 2$ D、 $y = 1$

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9、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + x < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 2^{x} \leq 1\}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a cos A + a sin A = b cos B + b sin B$ ，且 $a \neq b .$

(1)、求 $C;$

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 边的中点，且 $A B = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、在菱形ABCD中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， E，F分别为AD，CD的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{B F} =$ .

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12、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $P$ 为直线 $l : x = m y - 2$ 与 $y$ 轴的交点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 与 $M P$ 交于点 $C$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，则 $m = \pm \sqrt{15}$ B、 $m = 1$ 时，四边形 $P A M B$ 的面积为 $\sqrt{6}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、已知点 $Q (\frac{7}{4} ， 0)$ ，则 $|C Q|$ 为定值 $\frac{1}{4}$

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13、设函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有3个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有1个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增 D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{5}, \frac{π}{2})$ 单调递减，则 $ω$ 的最小值为2

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14、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ，对于 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，满足 $f (x) \cdot f (2 x) = \frac{9}{8}$ ，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2}$ .若函数 $y = f (f (x)) + a^{2} - 1 (a > 0)$ 恰有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6}]$ D、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6})$

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A = B C = \sqrt{3}$ ， $P C = A B = \sqrt{5}$ ， $P B = A C = \sqrt{6}$ ，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ，若 $|A F_{1}| = \sqrt{3} |A F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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18、已知 $a > b > c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $a - c \geq 2 \sqrt{(a - b) (b - c)}$

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19、设集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若存在实数 $R > 0$ ，使得点 $(a_{n}, S_{n})$ 位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为 $R$ 的圆内（含边界），则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”.

(1)、设数列 $\{a_{n}\}$ 是首项与公比均为 $- 1$ 的等比数列，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”.

(2)、若各项均为非负整数的数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中非零的项数不超过 $R$ .

(3)、设随机变量 $X_{n}$ 等可能地取 $- 1, 0, 1 (n = 1, 2, \dots)$ ，且不同的 $X_{n}$ 的取值是相互独立的.对于正整数 $m$ ，定义数列 $\{A_{m}\}$ ：前 $m$ 项为 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ ，从第 $m + 1$ 项起各项均为0.记数列 $\{A_{m}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”的概率为 $p_{m}$ ，证明：对任意正整数 $m, p_{m} \geq {(\frac{2}{3})}^{m - 1}$ .

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