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相关试卷

1、如图1所示，在等腰梯形 $A B C D$ ， $B C // A D ， C E ⊥ A D$ ，垂足为E， $A D = 3 B C = 3 ， E C = 1$ ，将 $△ D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $△ D_{1} E C$ 的位置，如图2所示.点 $G$ 为棱 $A D_{1}$ 上一个动点，平面 $D_{1} E C ⊥$ 平面 $A B C E$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A B D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在棱 $A D_{1}$ （不包括端点）上是否存在点 $G$ ，使平面 $A B D_{1}$ 与平面 $G E C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{A G}{A D_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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2、为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为 $α (\frac{1}{2} \leq α < 1)$ ，乙每次解开密码的概率为 $β (\frac{1}{2} \leq β < 1)$ ，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为 $\frac{3}{8}$ ，乙成功解密两份文件的概率为 $\frac{4}{9}$ ．

(1)、求 $α, β$ 的值；

(2)、求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率．

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3、为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；

(2)、试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；

(3)、用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80），[80，90），[90，100]内应各抽取多少人？

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4、已知点 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $∠ A P B = θ$ 且 $|P A| \cdot |P B| \cdot \cos^{2} \frac{θ}{2} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为

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5、若曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}} (- 1 \leq x \leq 1)$ 与直线 $k x - y + 3 = 0$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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6、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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7、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点 $($ 包含端点 $)$ ，给出下列四个结论，其中正确的是（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 中，点P到平面 $A_{1} B D$ 的距离为定值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、过点P且平行于平面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $2 \sqrt{5}$ C、直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、当点P为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $13 π$

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8、已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $C$ 是椭圆，则 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6$ B、若 $C$ 是双曲线，则 $||P F_{1}| - |P F_{2}|| = 6$ C、若 $m = 8$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{8}{9}$ D、若 $m = - 8$ ，则 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{17}}{3}$

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9、关于空间向量，以下说法正确的有（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角 C、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是不共面的向量，则向量 $2 \vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c} - \vec{a}$ 共面 D、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{12} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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10、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若点P是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限内的交点，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 |P F_{2}|$ ，设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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11、过椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的中心作直线l交椭圆于M，T两点， $F_{1}$ 是椭圆的左焦点，则 $△ M F_{1} T$ 周长的最小值是（）

A、 $17$ B、 $14$ C、 $6 + 2 \sqrt{7}$ D、 $8 + 2 \sqrt{7}$

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12、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + m y + 1 = 0 (m \in R)$ 关于直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 对称，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、外离

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 0, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{10}{9}, - \frac{10}{9}, - \frac{5}{9})$ B、 $(\frac{10}{3}, - \frac{10}{3}, - \frac{5}{3})$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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14、直线 $l_{1} : a x + y - 1 = 0, l_{2} : (a - 2) x - a y + 1 = 0$ ，则“ $a = - 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

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15、一个盒子中装有 $5$ 支圆珠笔，其中 $4$ 支一等品， $1$ 支二等品．若从中任取 $2$ 支，则这两支都是一等品的概率是（）

A、 $0.6$ B、 $0.5$ C、 $0.4$ D、 $0.3$

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16、样本数据 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $5$ 的第70百分位数为（）

A、5 B、4 C、 $\frac{7}{2}$ D、3

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17、已知椭圆 $Γ : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右顶点分别为C和D，O为原点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求 $△ A O B$ 面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.

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18、如图，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，F为棱 $B D$ 上一动点（不包含端点）， $C E / / A B$ ， $∠ E A B = ∠ D A E = 60 °$ ， $A E = A D = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B D = 1$ .

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若F是靠近点D的四等分点，求直线 $A F$ 与平面 $B E D$ 所成角的正弦值；

(3)、若O是三棱锥 $D - A B E$ 外接球的球心，求 $| O F |$ 的最小值.

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n + 1} - \frac{3}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n} b_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为F， $P (x_{0}, 9)$ 是抛物线上的一点，O为坐标原点.

(1)、求抛物线C的方程及 $x_{0}$ ；

(2)、已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点 $M (4, 7)$ 恰为 $△ O A B$ 的重心，求直线l的斜率k.

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