【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（天津卷）

试卷更新日期：2025-06-11 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {2, 3, 5}$ ，则 $C_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${1, 2, 3, 4}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${4}$

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2. 设x∈R，“x=0”是“ $s i n 2 x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数y=f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x}{1 - | x |}$ B、 $f (x) = \frac{x}{| x | - 1}$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{1 - x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{| x |}{x^{2} - 1}$

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4. 若 $m$ 为直线， $α, β$ 为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m ∥ α, n \subseteq α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ∥ α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m \subseteq α, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 下列说法错误的是（）

A、若 $X ~ N (μ, σ^{2}),$ 则 $P (X ≤ μ - σ) = P (X ≥ μ + σ)$ B、若 $X ~ N (1, 2^{2}), Y ~ N (2, 2^{2}),$ 则 $P (X < 1) < P (Y < 2)$ C、 $| r |$ 越接近于1，相关性越强 D、 $| r |$ 越接近于0，相关性越弱

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6. 已知 $S_{n} = - n^{2} + 8 n$ ，则 $\{| a_{n} |\}$ 前12项和为（）

A、112 B、48 C、80 D、64

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7. 函数 $f (x) = 0 . 3^{x} - \sqrt{x}$ 的零点所在区间是（）

A、 $(0, 0.3)$ B、 $(0.3, 0.5)$ C、 $(0.5, 1)$ D、 $(1, 2)$

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8. 已知 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ ，在 $[- \frac{5π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增， $x = \frac{π}{12}$ 为它的一条对称轴， $(\frac{π}{3}, 0)$ 为它的一个对称中心，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)_{m i n} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ . 以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线交于第一象限的 $P$ 点，若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 3 | F_{1} F_{2} | .$ 则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、2 B、5 C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10. 已知i是虚数单位，则 $| \frac{3 + i}{i} | =$ ．

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11. 在 $(x - 1)^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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12. $l_{1} : x - y + 6 = 0$ 与 $x$ 轴交于点A ，与 $y$ 轴交于点B ，与圆 $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$ 交于C ， D两点， $| A B | = 3 | C D |$ ，则 $r =$ ．

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13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，
第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6，
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，
①小桐一周跑11圈的概率为．
②若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4圈，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E (X) =$ ．

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14. $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 边的中点 $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}, \vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示），若 $| \vec{A E} | = 5$ ， $A E ⊥ C B$ ．则 $\vec{A E} \cdot \vec{C D} =$ ．

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15. $a . b \in R$ ，对 $\forall x \in [- 2, 2]$ ，均有 $(2 a + b) x^{2} + b x - a - 1 \leq 0$ 恒成立，则 $(2 a + b)_{m i n} =$ ．

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三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A, c - 2 b = 1, a = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、求 $c, b$ 的值；

(3)、求 $s i n (A + 2 B)$ 的值.

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17. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $E, F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点， $C G = 3 C_{1} G$

(1)、证明： $G F ⊥$ 平面 $E B F$ ；

(2)、求平面 $F B E$ 与平面 $E B G$ 夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥D-FBE的体积.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A, P$ 为 $x = a$ 上一点，且直线 $P F$ 的斜率 $= \frac{1}{3},$ △PFA的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点P的直线与椭圆有唯一交点 $B$ （异于点A），求证： $P F$ 平分 $∠ A F B$ .

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19. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ，

(1)、求 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = {0, 1}$ ，有 $T_{n} = {p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ⋯+ p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} ∣ p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{n} \in I}$ ，
①求证： $\forall t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
②求 $T_{n}$ 中所有元素之和．

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20. 已知 $f (x) = a x - (l n x)^{2}$

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、 $f (x)$ 有3个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $(l n x_{2} - l n x_{1}) \cdot l n x_{3} < \frac{4 e}{e - 1}$ .

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