四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2025-05-17 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 设集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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2. 已知复数 $z = 3 - \frac{1}{2 i^{3}}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 已知 $a > b > c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $a - c \geq 2 \sqrt{(a - b) (b - c)}$

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4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 $x$
1
2
3
4
5
交易量 $y$ （万套）
$0.5$
0.8
1.0
1.2
1.5
若 $y$ 与 $x$ 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

A、根据表中数据可知，变量 $y$ 与 $x$ 正相关 B、经验回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.28$ C、可以预测 $x = 6$ 时房屋交易量约为 $1.72$ （万套） D、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.02$

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5. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的项数为 $n (n \geq 6)$ ，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ，若 $|A F_{1}| = \sqrt{3} |A F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A = B C = \sqrt{3}$ ， $P C = A B = \sqrt{5}$ ， $P B = A C = \sqrt{6}$ ，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ，对于 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，满足 $f (x) \cdot f (2 x) = \frac{9}{8}$ ，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2}$ .若函数 $y = f (f (x)) + a^{2} - 1 (a > 0)$ 恰有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6}]$ D、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{6})$

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二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.

9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件

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10. 设函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有3个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有2个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有且仅有1个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增 D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{5}, \frac{π}{2})$ 单调递减，则 $ω$ 的最小值为2

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11. 已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $P$ 为直线 $l : x = m y - 2$ 与 $y$ 轴的交点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $A B$ 与 $M P$ 交于点 $C$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，则 $m = \pm \sqrt{15}$ B、 $m = 1$ 时，四边形 $P A M B$ 的面积为 $\sqrt{6}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、已知点 $Q (\frac{7}{4} ， 0)$ ，则 $|C Q|$ 为定值 $\frac{1}{4}$

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三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. 在菱形ABCD中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， E，F分别为AD，CD的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{B F} =$ .

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13. 若 $n$ 为一组从小到大排列的数 $- 1$ ， 1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则 ${(2 x - y + 1)}^{n}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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14. 公比为q的等比数列{ $a_{n}$ }满足： $a_{9} = l n a_{10} > 0$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots \dots a_{n}$ ，则当q最小时，使 $T_{n} \geq 1$ 成立的最小n值是

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a cos A + a sin A = b cos B + b sin B$ ，且 $a \neq b .$

(1)、求 $C;$

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 边的中点，且 $A B = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 a x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $0$ ，求实数 $a$ 的值.

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17. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为 $\frac{1}{4}$ ，答错的概率为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、甲留学生随机抽取 $3$ 题，记总得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、（ⅰ）若甲留学生随机抽取 $m$ 道题，记总得分恰为 $2 m$ 分的概率为 $P_{m}$ ，求数列 $\{P_{m}\}$ 的前 $m$ 项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为 $n$ 分的概率为 $Q_{n}$ ，求数列 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式．

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19. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $Q (3, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $A B$ 平行于 $y$ 轴时， $|A B| = 6$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、是否存在不同于点 $Q$ 的定点 $M$ ，使得 $∠ A M Q = ∠ B M Q$ 恒成立？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于异于 $A$ ， $B$ 的 $C$ ， $D$ 两点，其中点 $A, D$ 在第四象限，直线 $A C$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $G, H$ （ $G$ 与 $H$ 不重合），设线段 $G H$ 的中点为 $N (n, 0)$ ，求实数 $n$ 的取值范围.

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时间 $x$	1	2	3	4	5
交易量 $y$ （万套）	$0.5$	0.8	1.0	1.2	1.5