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相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$

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2、若正四面体的表面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、该正四面体的棱长为1 B、该正四面体的高为 $\sqrt{6}$ C、该正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、该正四面体的外接球表面积为 $\frac{3π}{2}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, - 1)$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ = 4$ B、若 $\vec{a} = t \vec{b} + \vec{c}$ ，则 $λ + t = - 6$ C、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{12}{13}, - \frac{8}{13})$ D、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{13}{3}) \cup (- \frac{13}{3}, - 1)$

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4、已知复数 $z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} - 1) i$ ，其中 $m \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则（）

A、当 $m = - 1$ 时， $z$ 为纯虚数 B、当 $m = 1$ 时， $z \in R$ C、当 $m = 2$ 时， $\bar{z} = - 3 i$ D、当 $m = - 2$ 时， $|z| = 10$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $b c = 4$ ， $b + 2 c cos A = 0$ ，则当角 $B$ 取得最大值时， $△ A B C$ 的周长为（）

A、6 B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $6 + 2 \sqrt{2}$

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6、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、4 B、16 C、1 D、3

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7、已知平面 $α$ ，两条不重合的直线 $l, m$ ，则“存在直线 $m \subset α$ ，使 $l ∥ m$ ”是“ $l ∥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）

A、 $18 \sqrt{5} π$ B、 $19 \sqrt{7} π$ C、 $19 \sqrt{5} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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9、设 $a, b$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面则下列选项正确的为（）

A、若 $a / / b, a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $α / / β, β / / γ$ ，则 $α / / γ$ C、若 $a \subset α, b \subset α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β, a \subset α, b \subset β$ ，则 $a / / b$

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10、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (x + 1, 3 x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{13}}{11}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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11、已知复数 $z$ 满足 $z i = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + 2 i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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12、已知（i，j，k)是 1，2，3的一个排列，对函数 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x),$ 对于任意x∈I，都有 $f_{1} (x) \leq f_{i} (x)$ 且 $f_{1} (x) + f_{2} (x)$ $\leq f_{i} (x) + f_{j} (x),$ ，则称（i，j，k)是关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的一个I排列，关于 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ 的I排列总数记为n_I.

(1)、对 $I = [3, + \infty), f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 0, f_{3} (x) = x^{2} + 1,$ 判断（3，1，2)是否为I排列?

(2)、对 $I = (0, + \infty) f_{1} (x) = x - 1, f_{2} (x) = x + m, f_{3} (x) = x^{2}$ 满足条件的 np=6，求m的取值范围?

(3)、对x∈[0，+∞)，且对任意x∈[0，+∞)，0<F（x)<1，令 $I = [a, + \infty), f_{1} (x) = F (x),$ $f_{2} (x) = \frac{1}{2} (F (x + a) + F (x - a)), f_{3} (x) = 1 - e^{- x},$ 证明：若F（x)严格减，则存在a>0，使 $n_{I} \geq 4$ ；若F（x)严格增，则存在a∈（0，1)， $n_{I} \neq 2$ ；

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13、已知双曲线 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1,$ P为 $Γ$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点.

(1)、求点（2，0)到 $Γ$ 渐近线的距离；

(2)、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 1,$ 求△PF₁F₂的面积；

(3)、设 $Ω : x^{2} - y^{2} = 1,$ 其中 ${\begin{matrix} x < 0 \\ y \leq - 1 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{cases} x ＞ 0 \\ y \geq - 1 \end{cases}$ ，过点F₂的直线l交Ω于P、Q两点（分别位于一、四象限)，过点F₂直线m交Ω于M、N两点（分别位于三、四象限)，是否存在正数λ，对于任意的l，都存在唯一的m，使|MN|=λ|PQ|成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由.

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14、已知a∈R，函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3, g (x) = 4 x + \frac{1}{x^{2}}$

(1)、已知f（1）=4，求 $f (x) + \frac{1}{x^{2}} > g (x)$ 的解集；

(2)、a≠0，l₁是f（x)在点（0，3)处的切线，l₂是过点（0，3)且垂直于l₁的直线，g（x)与l₁、l₂在第一象限内均无公共点，求a的取值范围。

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15、如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PH⊥底面，AH=1，HD=4，AB=2.

(1)、证明：HC⊥PB；

(2)、若四棱锥体积 $V_{P - A B C D} = \frac{10 \sqrt{5}}{3},$ 求二面角C-PB-H的大小

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16、某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：
某颗粒物密度
101.02
87.02
57.46
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
51.84
53.2
9.16
6.6
4.4
3.31
3.35
3.86

(1)、为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少?

(2)、为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在（-1，0)，（0，1)，（1，2)哪个区间内?（直接写结论)

(3)、2023 年前 9 年的年份（x)的平均数为 2018，y（颗粒物密度)关于x（年份)的回归方程拟采用 $y = 106.544 e^{- 0.461 (x - 2014)},$ 或y=a（x-2014)+83.743.已知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.

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17、如图，在一个空间直角坐标系中，存在一个正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，A为坐标原点，将该正方体绕体对角线AC₁为旋转轴旋转一周，点C将经过（ )个卦限

A、1 B、3 C、4 D、7

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18、对于任意两个复数z，w，如果满足“z-w∈R”或“z- $w$ ∈R”，那么就称z与w伴随，如果z与w伴随，则w-i与z+i伴随的充要条件是（ )

A、Rez+ Rew=0 B、Rez-Rew=0 C、Imz+ Imw=0 D、Imz-Imw=0

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19、已知事件A、事件B为独立随机事件，事件C表示为事件A、B至少有一件发生，则 $C$ =（ )

A、A∩B B、A∪B C、 $A \cap B$ D、 $A \cup B$

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20、 a为不为1的任意实数，则 $a \cdot \sqrt[3]{a} =$ （）

A、 $a^{\frac{3}{2}}$ B、 $a^{\frac{4}{3}}$ C、 $a^{\frac{5}{2}}$ D、 $a^{\frac{5}{3}}$

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某颗粒物密度	101.02	87.02	57.46	21.85	11.76	8.86	5.03	4.63	3.86
二氧化硫密度	119.47	51.84	53.2	9.16	6.6	4.4	3.31	3.35	3.86